Question

(Aritmética: Congruência modular – Números primos)

Seja k ∈ ℕ*.

a) Suponha que n = 2k + 1 é primo ímpar. É possível que k seja da forma 11q + 5? Justifique.

b) Mostre que se 2k + 1 é primo ímpar, então para todo p primo, p > 2 e p ≠ 2k + 1, devemos ter k ≢ (p−1)/2 (mod p).​

Answer 1

a)
Com $k = 11q + 5$ :

$n = 2k + 1\\= 2(11q +5) + 1\\= 22q +10 + 1\\= 22q + 11\\= 11(2q + 1)\\11 \mid n$

A não ser que $q$ seja igual a 0, $n$ não pode ser primo.

$k$ não pode ser da forma $11q+5$ e $n$ ser primo, simultaneamente.

b)

Vamos supor o contrário, que existe $k$ tal que:

$k \equiv \cfrac{p-1}{2} \pmod p$

Então:

$2k \equiv p-1 \pmod p\\2k + 1\equiv p \pmod p\\2k + 1 \equiv 0 \pmod p$

Ou seja, $p \mid n$. Porém isso não deveria acontecer, visto que $n$ é primo e que $p \neq n$. Portanto, se a congruência do enunciado é verdadeira, $n$ não pode ser primo, então se $n$ é primo, a congruência do enunciado não é verdadeira:

$k \not \equiv \cfrac{p-1}{2} \pmod p$