Question

(Aritmética: Congruência modular e classes de resto – propriedades)

Definição: Seja m ∈ ℕ, m ≠ 0 um número natural fixado. Para cada natural m, definimos sobre os elementos de ℤ uma relação binária $\equiv_m\;\in\;\mathbb{Z\times Z}$ satisfazendo a seguinte propriedade:

     $(a,\,b)\in\;\equiv_m\quad\overset{\mathrm{def.}}{\Longleftrightarrow}\quad m\mathrm{~divide~}(a-b)$

para quaisquer $a,\,b\in\mathbb{Z}.$

Notação: Para denotar que o par $(a,\,b)$ pertence à relação $\equiv_m$ definida conforme acima, utilizamos a notação

     $a\equiv b~~\mathrm{(mod}~m)$

Lê-se: $a$ é congruente a $b,$ módulo $m.$

Propriedades: Dados $a,\,b,\,c\in\mathbb{Z}$ inteiros quaisquer, é possível demonstrar as seguintes propriedades:

     (i)    $a\equiv a~~\mathrm{(mod~}m).$     (reflexividade)

     (ii)   Se $a\equiv b~~\mathrm{(mod~}m),$ então $b\equiv a~~\mathrm{(mod~}m).$     (simetria)

     (iii)   Se $a\equiv b~~\mathrm{(mod~}m)$ e $b\equiv c~~\mathrm{(mod~}m),$ então $a\equiv c~~\mathrm{(mod~}m).$     (transitividade)

As propriedades (i), (ii), (iii) evidenciam que $\equiv_m$ é uma relação de equivalência sobre o conjunto dos inteiros, e o particiona em $m$ classes de equivalência distintas e disjuntas, denominadas classes de restos (ou resíduos) módulo m.
Consequentemente, dados dois inteiros $a,\,b$ quaisquer, eles pertencem à mesma classe se e somente se $a\equiv b~~\mathrm{(mod~}m).$

Indicamos cada classe de equivalência por um de seus representantes. Sendo $a\in\mathbb{Z},$ sua classe de restos módulo $m$ é denotada por

     $\overline{a}=\{x\in\mathbb{Z}:~~x\equiv a~~\mathrm{(mod~}m)\}.$

cujos elementos são todos os inteiros que são congruentes a $a,$ módulo $m.$

Propriedades operatórias: Considere $a,\,b,\,c,\,d\in\mathbb{Z}$ inteiros quaisquer e $k\in\mathbb{N}.$

Se $a\equiv b~~\mathrm{(mod~}m),$ então valem

     (iv)   $a+m\cdot c\equiv a~~\mathrm{(mod~}m).$

     (v)   $a+c\equiv b+c~~\mathrm{(mod~}m).$

     (vi)   Se $c\equiv d~~\mathrm{(mod~}m),$ então $a+c\equiv b+d~~\mathrm{(mod~}m).$

     (vii)   Se $c\equiv d~~\mathrm{(mod~}m),$ então $a\cdot c\equiv b\cdot d~~\mathrm{(mod~}m).$

     (viii)  $k\cdot a\equiv k\cdot b~~\mathrm{(mod~}m).$

     (ix)  $a^k\equiv b^k~~\mathrm{(mod~}m).$

Exercício proposto: Verifique as propriedades (iv), (v) e (vi).

Answer 1

(iv) $a + mc \equiv a \pmod m$

$a = mq + r\\a+mc = mq + mc + r\\a + mc = m(q+c) + r$

Portanto ambos têm o mesmo resto.

(v) $a + c \equiv b + c \pmod m$

$a = mq + r\\b = mq' + r\\\\mq + r + c \equiv mq' + r + c \pmod m$

Se a subtração destes é um múltiplo de m, ambos são congruentes módulo m:

$mq + r + c - (mq' + r + c)\\= mq - mq'\\= m(q-q')$

Comprovado.

(vii) Com $c \equiv d \pmod m$, $ac \equiv bd \pmod m$ (além do já escrito no enunciado, $a \equiv b \pmod m$).

$a = mq + r_1\\b = mq' + r_1\\c = mk + r_2\\d = mk' + r_2$

$(mq + r_1)(mk + r_2) \equiv (mq' + r_1) (mk' + r_2) \pmod m\\m^2qk + mqr_2 + mkr_1 + r_1r_2 \equiv m^2q'k' + mq'r_2 + mk'r_1 + r_1r_2 \pmod m$

Como na propriedade anterior, se a subtração destes é um múltiplo de m, ambos serão congruentes módulo m:

$m^2qk + mqr_2 + mkr_1 + r_1r_2 - (m^2q'k' + mq'r_2 + mk'r_1 + r_1r_2)\\= m^2qk + mqr_2 + mkr_1 + r_1r_2 - m^2q'k' - mq'r_2 - mk'r_1 - r_1r_2\\= m^2qk + mqr_2 + mkr_1 - m^2q'k' - mq'r_2 - mk'r_1\\= m(mqk + qr_2 + kr_1 - mq'k' - q'r_2 - k'r_1)$

Demonstrado.