Areias coloridas muito muito muito finas são utilizadas para a produção de peças artísticas como os vasos ilustrados a seguir.
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Suponhamos que dois baldes A e B contenham, inicialmente, a mesma quantidade de areia colorida.
No balde A, 13 da sua areia é branca e os outros 23 da sua areia é preta.
No balde B acontece o contrário: 23 da sua areia é branca e os outros 13 da sua areia é preta.
Suponhamos que as areias nos baldes A e B estejam muito bem misturadas, de forma homogênea e considere que, a partir desta situação inicial, foram realizadas, ordenadamente, as seguintes transferências de areia.
metade da areia do balde A é jogada no balde B.
a areia no balde B é, então, muito bem misturada de modo que a mistura de areia branca e preta no balde B seja homogênea.
finalmente metade da areia do balde B é devolvida para o balde A, que também é misturado de forma homogênea.
Após estas duas transferências de areia, qual é a razão de areia preta no balde A em relação ao total de areia neste balde?
Soluções para a tarefa
Para resolver esse problema vamos ter que trabalhar com frações e proporção. Como teremos algumas somas, vou deixar para simplificar as frações somente no final.
Os
dois baldes possuem a mesma
quantia de
areia, e cada balde foi divido em três
partes.
Cada balde possui a metade
do total de
areia. Vamos calcular quanto de cada cor cada balde possui com
relação ao valor total.
Balde
A:
Branca:
1/3 * 1/2 = 1/6 branca
Preta:
2/3 * 1/2 = 2/6 preta
Balde
B:
Branca:
2/3 * 1/2 = 2/6 branca
Preta:
1/3 * 1/2 = 1/6 preta
A
metade da areia de A:
Branca:
1/6 * 1/2 = 1/12 branca
Preta:
2/6 * 1/2 = 2/12 preta
É
jogada em
B,
vamos somar:
Branca:
2/6 + 1/12 [mmc]
4/12 + 1/12 = 5/12 branca
Preta:
1/6 + 2/12 [mmc]
2/12 + 2/12 = 4/12 preta
Agora
a metade do
que está em B:
Branca:
5/12 * 1/2 = 5/24 branca
Preta:
4/12 * 1/2 = 4/24 preta
É
devolvido a A, vamos somar o que ficou em A, mais o
que veio de B:
Branca:
1/12 + 5/24
2/24 + 5/24
7/24 branca
Preta:
2/12
+ 4/24 [simplificando as duas]
1/6 + 1/6 = 2/6 preta
Agora
temos no balde A 7/24 de areia preta e 2/6 de areia branca, com
relação ao total. O exercício pede apenas a quantia de areia preta
com relação ao que possui no balde. Como a areia de A era
a metade do
total, esse valor é o dobro do que existe somente em A.
Basta dobrar o
valor da areia preta:
7/24 * 2 = 14/24 [simplifica]
7/12 de areia preta.
A
razão é: há 7/12 da areia em A é preta.