Matemática, perguntado por LilianMRamos, 6 meses atrás

Área definida por Integral

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Buckethead1

✅ A área abaixo do gráfico da função $\rm f(x) = -x^2-2x$ é $\rm A = \tfrac{4}{3}\,u.a$ .

❏ Devemos encontrar a área abaixo do gráfico da função $\rm f(x) = -x^2-2x$ no intervalo delimitado pelas raízes $\rm [-2 , 0]$ .

❏ Para isso, dispomos da definição de área e do Teorema Fundamental do Cálculo

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\qquad A = \displaystyle \rm \int_{a}^{b}f(x)\, dx \Leftrightarrow A = F(b) - F(a)\qquad }}}$

⚠️ Devemos então primitivar a função e avaliar nos limites de integração.

$\large\begin{array}{lr}\displaystyle \rm A = \int_{-2}^{0}-x^2-2x\,dx\end{array}$

✍️ Essa é a integral definida que nos retorna a área abaixo da curva. Bora resolver!

$\large\begin{array}{lr}\rm A = \left[-\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{2\: \!\!\!\!\backslash{x^{2}}}{2\: \!\!\!\!\backslash}\right]_{-2}^{0}\Rightarrow\\\\\rm A = \left[-\dfrac{x^3}{3}-x^2 \right]_{-2}^{0} \\\\ \rm A = \left\{ \left[ \dfrac{0^3}{3} -0^2\right] - \left[ -\dfrac{(-2)^3}{3}-(-2)^2 \right] \right\}\\\\\rm A = - \left[-\dfrac{-8}{3} - 4\right] \\\\\rm A = -\left[ \dfrac{8}{3} - \dfrac{12}{3} \right] = -\dfrac{-4}{3}\\\\\red{\underline{\boxed{\rm \therefore\:A = \dfrac{4}{3}\,u.a}}} \end{array}$