Área da esfera ensino superior
Calcule a ´area da parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 que est´a dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1.
Soluções para a tarefa
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1
Observe que a área compreendida abaixo do plano "xy" ou seja, z = negativo
É a mesma área para z ≥ 0 até a esfera.
Desse modo, seria mais fácil calcular a área acima de z = 0 e depois multiplicarmos por 2 ok?
-------------------------------------------------------
Achando a parametrização
Façamos:

Como, x²+y² = r²

-----------------------------------
Logo, nossa parametrização será:

Com

-------------------------------------
Sabemos que a área é calculado da seguinte maneira:

Onde,
![\\ \frac{dR}{dr} = Cos \alpha i+Sen \alpha j- \frac{r}{ \sqrt{4-r^2} } k
\\
\\ \frac{dR}{d \alpha } = -rSen \alpha +rCos \alpha +0k
\\
\\ \frac{dR}{dr} X\frac{dR}{d \alpha } = \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\Cos \alpha &Sen \alpha &- \frac{r}{ \sqrt{4-r^2} } \\-rSen \alpha &rCos \alpha &0\end{array}\right]
\\
\\
\\ \frac{dR}{dr} X\frac{dR}{d \alpha } = 0i+\frac{r^2Sen \alpha }{ \sqrt{4-r^2} } j+rCos^2 \alpha k- ( -rSen^2 \alpha k+0j- \frac{r^2Cos \alpha }{ \sqrt{4-r^2} } i)
\\ \frac{dR}{dr} = Cos \alpha i+Sen \alpha j- \frac{r}{ \sqrt{4-r^2} } k
\\
\\ \frac{dR}{d \alpha } = -rSen \alpha +rCos \alpha +0k
\\
\\ \frac{dR}{dr} X\frac{dR}{d \alpha } = \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\Cos \alpha &Sen \alpha &- \frac{r}{ \sqrt{4-r^2} } \\-rSen \alpha &rCos \alpha &0\end{array}\right]
\\
\\
\\ \frac{dR}{dr} X\frac{dR}{d \alpha } = 0i+\frac{r^2Sen \alpha }{ \sqrt{4-r^2} } j+rCos^2 \alpha k- ( -rSen^2 \alpha k+0j- \frac{r^2Cos \alpha }{ \sqrt{4-r^2} } i)](https://tex.z-dn.net/?f=+%5C%5C++%5Cfrac%7BdR%7D%7Bdr%7D+%3D+Cos+%5Calpha+i%2BSen+%5Calpha+j-+%5Cfrac%7Br%7D%7B+%5Csqrt%7B4-r%5E2%7D+%7D+k%0A+%5C%5C+%0A+%5C%5C++%5Cfrac%7BdR%7D%7Bd+%5Calpha+%7D+%3D+-rSen+%5Calpha+%2BrCos+%5Calpha+%2B0k%0A+%5C%5C+%0A+%5C%5C++%5Cfrac%7BdR%7D%7Bdr%7D+X%5Cfrac%7BdR%7D%7Bd+%5Calpha+%7D++%3D+++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Di%26amp%3Bj%26amp%3Bk%5C%5CCos+%5Calpha+%26amp%3BSen+%5Calpha+%26amp%3B-+%5Cfrac%7Br%7D%7B+%5Csqrt%7B4-r%5E2%7D+%7D+%5C%5C-rSen+%5Calpha+%26amp%3BrCos+%5Calpha+%26amp%3B0%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%0A+%5C%5C+%0A+%5C%5C+%0A+%5C%5C+%5Cfrac%7BdR%7D%7Bdr%7D+X%5Cfrac%7BdR%7D%7Bd+%5Calpha+%7D++%3D+0i%2B%5Cfrac%7Br%5E2Sen+%5Calpha+%7D%7B+%5Csqrt%7B4-r%5E2%7D+%7D+j%2BrCos%5E2+%5Calpha+k-+%28+-rSen%5E2+%5Calpha+k%2B0j-+%5Cfrac%7Br%5E2Cos+%5Calpha+%7D%7B+%5Csqrt%7B4-r%5E2%7D+%7D+i%29%0A+%0A)

Calculando o módulo:




Logo:

Fazendo,
u = 4 - r²
du/dr = -2r
-du/2 = rdr
--------------------------
Para r = 0 e r = 1
u = 4-r²
u = 4-0²
u₁ = 4
--------------------------
u = 4 - r²
u = 4 - 1²
u₂ = 3
------------------------
Então:


É a mesma área para z ≥ 0 até a esfera.
Desse modo, seria mais fácil calcular a área acima de z = 0 e depois multiplicarmos por 2 ok?
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Achando a parametrização
Façamos:
Como, x²+y² = r²
-----------------------------------
Logo, nossa parametrização será:
Com
-------------------------------------
Sabemos que a área é calculado da seguinte maneira:
Onde,
Calculando o módulo:
Logo:
Fazendo,
u = 4 - r²
du/dr = -2r
-du/2 = rdr
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Para r = 0 e r = 1
u = 4-r²
u = 4-0²
u₁ = 4
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u = 4 - r²
u = 4 - 1²
u₂ = 3
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Então:
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