Question

Ar entra no duto de um sistema de ar condicionado a 100kPa e 10°C com vazão volumétrica de 15m3/min. O diâmetro do duto é de 24cm, e o calor é transferido para o ar no duto a partir do meio externo a uma taxa de 2kW. Determine: (a)a velocidade do ar na entrada do duto e (b)a temperatura do ar na saída.

Answer 1

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⠀⠀⠀☞ a) 5,53 [m/s]; ✅

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⠀⠀⠀☞ b) 16,45 [ºC]. ✅

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⠀⠀⠀⭐⠀Para realizar este exercício utilizaremos a equação de Clapeyron, fluxo de mols e de massa e a equação fundamental da calorimetria.⠀⭐⠀

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⠀⠀⠀➡️⠀Considerando que em 1 segundo temos um volume de ar = 15/60 = 0,25 [m³] de formato cilíndrico dentro do tubo (de diâmetro 0,24 [m]) então devemos nos perguntar: qual deve ser a largura deste cilindro que resulta neste volume? Pela equação do volume de um cilindro na notação de variação por tempo (V̇ = πr²ḣ) e considerando π = 3,14 temos que:  

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$\LARGE\blue{\sf 0{,}25 = 3{,}14 \cdot 0{,}12^2 \cdot \dot{h}}$  

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$\LARGE\blue{\sf 0{,}25 = 0{,}045216 \cdot \dot{h}}$  

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$\LARGE\blue{\text{ \sf \dot{h} = \dfrac{0{,}25}{0{,}045216} }}$  

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                               $\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{v}~\pink{=}~\blue{ 5{,}53~[m/s] }~~~}}$ ✅

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⠀⠀⠀➡️⠀Vamos inicialmente encontrar o volume específico do ar no momento inicial através da equação de Clapeyron:  

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                                  $\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{lcr}\green{\star}&&\green{\star}\\&\orange{\sf P \cdot v = n \cdot R \cdot T}&\\\green{\star}&&\green{\star}\\\end{array}}}}}$

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$\text{\Large\orange{ \diamond~~\bf P }~\pink{ \Longrightarrow }~}$ Pressão do gás em [Pa] ou [atm] (x [Pa] ≈ x · 10⁻⁵ [atm]);

$\text{\Large\orange{ \diamond~~\bf V }~\pink{ \Longrightarrow }~}$ Volume do gás em [m³] ou [L];

$\text{\Large\orange{ \diamond~~\bf n }~\pink{ \Longrightarrow }~}$ Número de mols do gás;

$\text{\Large\orange{ \diamond~~\bf R }~\pink{ \Longrightarrow }~}$ Constante universal dos gases perfeitos (8,2 × 10⁻⁵ [m³·atm/K·mol] = 8,314462 [m³·Pa/K·mol]);

$\text{\Large\orange{ \diamond~~\bf T }~\pink{ \Longrightarrow }~}$ Temperatura do gás em [K] (y [K] = y - 273 [ºC]).

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$\LARGE\blue{\text{ \sf \dot{n} =\dfrac{P_i \cdot \dot{V}_i}{R \cdot T_i} }}$

 

$\LARGE\blue{\text{ \sf \dot{n} = \dfrac{100.000 \cdot 0,25}{8{,}314462 \cdot 283} }}$

 

$\LARGE\blue{\sf \dot{n} \approx 10{,}625~[mol/s]}$ ⠀

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⠀⠀⠀➡️⠀Considerando a massa molar do ar como 28,9645 [g/mol] (valor este que deveria estar especificado no enunciado) então temos que a taxa de fluxo de massa que procuramos é de:

 

$\LARGE\blue{\text{ \sf \dot{n} = \dfrac{\dot{m}}{M} }}$

 

$\LARGE\blue{\sf \dot{m} = 28{,}9645 \cdot 10{,}625}$

 

$\LARGE\blue{\sf \dot{m} \approx 307{,}748~[g/s] }$

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⠀⠀⠀➡️⠀Vejamos agora, pela equação fundamental da calorimetria, qual será nossa temperatura final:

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                                  $\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}\green{\star}&&\green{\star}\\&\!\!\orange{\bf Q = m \cdot c \cdot \Delta T}\!\!&\\\green{\star}&&\green{\star}\\\end{array}}}}}$

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$\text{\Large\orange{ \diamond~~\bf Q }~\pink{ \Longrightarrow }~}$ Energia térmica recebida pelo corpo em [J];

$\text{\Large\orange{ \diamond~~\bf m }~\pink{ \Longrightarrow }~}$ Massa do corpo em [g];

$\text{\Large\orange{ \diamond~~\bf c }~\pink{ \Longrightarrow }~}$ Calor específico do material em [J / (g × K)] que é uma propriedade intrínseca de cada material (o calor específico neste caso, considerando a pressão constante, é de 1,007 e deveria estar especificado no enunciado);

$\text{\Large\orange{ \diamond~~\bf \Delta T }~\pink{ \Longrightarrow }~}$ Variação da temperatura do corpo [K] $\text{\Large \pink{\Longrightarrow}~\bf T_f - T_i }$.

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$\large\blue{\sf 2.000 = 307{,}748 \cdot 1{,}007 \cdot (T_f - 283)}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf \dfrac{2.000}{307{,}748 \cdot 1{,}007} = T_f - 283 }}$

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$\LARGE\blue{\sf T_f \approx 283 + 6{,}454}$

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$\LARGE\blue{\sf T_f \approx 289{,}454}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Finalmente, convertendo para ºC:

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$\LARGE\blue{\sf T_f = 289{,}454 - 273}$  

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                                $\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{T_f}~\pink{=}~\blue{ 16{,}45~[^{\circ}C] }~~~}}$ ✅

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                             $\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

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                                          $\quad\qquad(\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios})$ ☄

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