Question

Apresente os valores das medidas do retângulo de maior área possível, de modo que o mesmo caiba dentro do triângulo retângulo de catetos 30m e 40m.

Answer 1

Saber MatemáticaMatemática: Conteúdo, provas e exercícios resolvidos.

Go to... Home Provas Resolvidas     – 2018    – 2017    – 2016    – 2015    – 2014    – 2013    – 2012    – 2011    – 2010    – 2009    – 2008    – 2007    – 2006    – 2005    – 2002    – 2001 Conteúdo Exercícios Resolvidos Lista de Exercícios VÍDEO AULAS ENEM Contato

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ÁREA DO RETÂNGULO

Olá amigos estudantes! Nesta página selecionamos vários exercícios resolvidos sobre o cálculo da área do retângulo, todos retirados das últimas provas de concursos realizadas pelo país.

Bom estudo!

 

 

 

Questão 1 (PM TO 2013 – Consulplan). A Área em negrito da figura corresponde a 1/3 da Área do retângulo ABCD, cujo perímetro mede 40 cm. Considerando ainda que o perímetro da região em negrito equivale a 3/5 do perímetro do retângulo ABCD, então a Área desse retângulo mede

(A) 84 cm2.

(B) 90 cm2.

(C) 92 cm2.

(D) 96 cm2.

 

Sejam:

AB = DC = x

BC = DA = y

 

Como a área do retângulo em negrito é 1/3 da área de ABCD, temos que as medidas do retângulo em negrito são x/3 e y.

 

Sabendo que o perímetro de ABCD é 40, temos:

x + x + y + y = 40

2x + 2y = 40 (1)

 

Sabendo que o perímetro da região em negrito é 3/5 de ABCD, temos:

x/3 + x/3 + y + y = 40.3/5

2x/3 + 2y = 24 (2)

 

Fazendo (1) – (2):

2x + 2y – 2x/3 – 2y = 40 – 24

4x/3 = 16

x = 16.3/4

x = 12

 

Utilizando a equação (1) para calcularmos o valor de y:

2x + 2y = 40

2.12 + 2y = 40

24 + 2y = 40

2y = 40 – 24

2y = 16

y = 16/2

y = 8

 

Calculando a área de ABCD:

12.8 = 96

Resposta: D

Answer 2

Observando essa figura num plano cartesiano, e imaginando essa hipotenusa como uma função definida por y = ax + b, percebe-se que o vértice superior direito desse retângulo deve estar sempre pertencendo a essa reta. Dadas as coordenadas (x,y) desse vértice a área desse retângulo será dada por xy. Mas calculemos primeiro a equação dessa função afim.

$f(x) = ax + b \\ f(0) = 40 \\ a \cdot 0 + b = 40 \\ b = 40 \\ \\ f(30) = 0 \\ a \cdot 30 + 40 = 0 \\ 30a = - 40 \\ a = - \frac{40}{30} \\ a = - \frac{4}{3} \\ \\ y = f(x) = - \frac{4}{3}x + 40$

Então:

$A = x \cdot y = x \cdot \left ( - \frac{4}{3}x + 40 \right ) \\ A = - \frac{4}{3} {x}^{2} + 40x$

Encontramos a expressão genérica da área para qualquer retângulo limitado abaixo dessa reta, entre as coordenadas (x,y) e a origem (0,0). Essa função quadrática tem a < 0, que significa que seu gráfico tem concavidade para baixo e admite um ponto de máximo. Vamos então calcular o valor de x nessa função quadrática que corresponde a essa área máxima e que será o x do vértice desse retângulo:

$x_v = - \frac{b}{2a} = - \frac{40}{2 \cdot \left (- \frac{4}{3} \right ) } \\ x_v = \frac{40}{2} \cdot \frac{3}{4} \\ x_v = 15$

Substituindo esse valor de x na equação da reta encontramos o y:

$y_v = - \frac{4}{3}x + 40 = - \frac{4}{3} \cdot 15 + 40 \\ y_v = - 20 + 40 \\ y_v = 20$

Área máxima será:

$A_{max} = x_v \cdot y_v = 15 \cdot 20 \\ \\ \boxed{A_{max} = 300 \: {m}^{2} }$