Question

Apresente os conjuntos das partes dos conjuntos abaixo a= 5,8,9

Answer 1

O que você acha que é “conjuntos das partes”?

Bem, o nome já diz tudo. É um conjunto que possui todas as “partes” de um outro conjunto. Vamos definir para entender melhor.

(definição) Conjunto das Partes. Seja A um conjunto qualquer. O conjunto abaixo é chamado de conjunto das partes de A:

P(A)={X | X é um subconjunto de A}

Ainda, sobre o conjunto das partes, você deve estar atento a duas coisas:

∅ sempre está no conjunto das partes, pois ∅⊂A.

O próprio conjunto sempre está em seu conjunto das partes, pois A⊂A.

Então tome nota:

∅∈P(A)

A∈P(A)

Vamos ver um exemplo?

Ainda está com dúvida?Conheça as aulas particulares do Matika.

17.1. Exemplo de Conjunto das Partes

Seja A={a,b,c}.

O conjunto das partes de A é o conjunto que reune todos os subconjuntos de A, incluindo o ∅ e o próprio A.

P(A)={{a}; {b}; {c}; {a,b}; {a,c}; {b,c}; {a,b,c}; ∅}

17.2. Número de elementos no conjunto das partes

Há um fato bastante interessante sobre o conjunto das partes.

Se A possui n elementos, então P(A) possui 2n elementos.

É isso aí. Normalmente, indicamos o número de elementos de um conjunto A por #A. Então, para resumir, em notação matemática:

#A=n⇒#P(A)=2n.

A demonstração para esse fato é incrivelmente simples.

Vamos utilizar o Princípio Fundamental da Contagem para contar quantos subconjuntos um conjunto A com n elementos possui.

Vamos criar um subconjunto qualquer B. Para cada um dos n elementos de A, só existem duas possibilidades:

Ou o elemento está no subconjunto B

Ou o elemento não está no subconjunto B

Assim, pelo PFC, nós podemos montar o conjunto B de

2⋅2⋅2⋅(…)⋅2n vezes=2n maneiras

E portanto, há todos os 2n subconjuntos de A em P(A).

17.3. Exemplo: número de elementos em P(A)

No exemplo anterior, tínhamos o conjunto A={a,b,c}. e seu conjunto das partes:

P(A)={{a}; {b}; {c}; {a,b}; {a,c}; {b,c}; {a,b,c}; ∅}

Repare que:

#A=3⇒#P(A)=23=8.

Vamos fazer mais um exemplo, mas desta vez não vamos nem listar todos os elementos do conjunto das partes.

Seja B={1,2,3,…,9,10}. O número de elementos em P(B) é:

#P(B)=210=1024.

É isso mesmo. Um conjunto com apenas 10 elementos possui 1024 subconjuntos.