Question

Apresente o estudo dos sinais da função f(x)=x^2+6x+8.

Answer 1

Função do 2º grau.

Sendo uma função do segundo grau do tipo $f(x) = a.x^2 +b.x +c$, com $a \neq 0$

A função é uma parábola e podemos determinar todo estudo de sinais da função através de algumas relações.

• Como saber se a parábola tem a concavidade para cima ou para baixo ?

A concavidade de um parábola pode ser determinada pelo coeficiente "$a$"  

se :

$a > 0$ - Concavidade virada para cima

$a<0$ - Concavidade virada para baixo

• Como sabemos o ponto onde a  função/parábola corta o eixo y ?

Através do coeficiente "c", conhecido como termo independente. A função corta o eixo y exatamente no ponto igual a c.

• Como saber onde a função/parábola é positiva e onde ela é negativa ?

A função é negativa abaixo o eixo x, e a função é positiva acima do eixo x.

• Como montar a função no gráfico ?

Sabendo se a concavidade é voltada para cima ou para baixo,  achando as raízes da função e sabendo o ponto onde ela corta o eixo y, podemos marcá-los no gráfico e montar nossa função passando em cima dos pontos destacados.

• Como saber se a função tem raízes iguais ou raízes diferentes  ?

tendo uma função $f(x) = a.x^2 +b.x +c$, podemos determinar se as raízes serão iguais ou diferentes uma das outras, através do discriminante, que é mostrado pelo simbolo ($\Delta$)

Onde :

$\Delta = b^2 -4.a.c$

e se

$\Delta > 0$ - Duas raízes diferentes.

$\Delta = 0$ - Duas raízes iguais.

$\Delta <0$ - não tem raízes reais ($\mathbb{R}$)

• Como achar as raízes de uma função do 2º grau. ?

Podemos achar as raízes de uma função do 2º usando a fórmula de bhaskara.

função : $a.x^2 +b.x+c$

fórmula de bhaskara :

$x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4.a.c}}{2.a }$

Sabendo disso, vamos para nossa questão.  

temos a seguinte função :

$f(x) = x^2 + 6.x + 8$

$a = 1$, $b = 6$, $c = 8$

A questão pede o estudo de sinais, então precisamos saber onde a função corta o eixo x. Então vamos achar onde a função corta o eixo x,  usando bhaskara.

$x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4.a.c}}{2.a }$

$a = 1$, b = $6$ , $c = 8$

Substituindo na fórmula :

$x = \frac{-6\pm \sqrt{6^2-4.1.8}}{2.1 }$

$x = \frac{-6\pm \sqrt{36-32}}{2}$

$x = \frac{-6\pm \sqrt{4}}{2}$

$x = \frac{-6\pm2}{2}$

$x_1 = \frac{-6+2}{2}$ ⇒ $x_1 = \frac{-4}{2}$ ⇒ $x_1 = -2$

e

$x_2 = \frac{-6-2}{2}$ ⇒$x_2 = \frac{-8}{2}$ ⇒ $x_2 = -4$  

Sabendo que a concavidade é voltada para cima, porque $a = 1$ ( maior que 0) a função corta o eixo X nos pontos $-4$ e $-2$

Note que entre  -4 e -2 a função é negativa e ao lado das raízes é positiva

Ou seja,

Função negativa no intervalo:   $-4<x<-2$

( a função é negativa em x menor que -2 e x maior que -4)

Função positiva em :  $-4 >x >-2$

( a função é positiva em x menor que -4 e maior que -2 )

Na imagem mostra como ficaria a função no gráfico, e como ficaria o estudo de sinais da função.