Question

Apresentada a função: $f (x) = | x-1 |$

I) calcule as derivadas laterais no ponto x = 1.

$\lim_{h \to \ 0^{-} } \frac{f(1+h)-f(1)}{h} =$

$\lim_{h \to \ 0^{+} } \frac{f(1+h)-f(1)}{h} =$


II) A função $f$ é derivável em x=1? justifique sua resposta.

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x)=|x-1|\\\\\\ f(x)=\left\{\!\begin{array}{rl} x-1&\text{se }x-1\ge 0\\\\ -(x-1)&\text{se }x-1<0 \end{array}\right.\\\\\\\\ f(x)=\left\{\!\begin{array}{rl} x-1&\text{se }x\ge 1\\\\ 1-x&\text{se }x<1 \end{array}\right.$

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(I) Computando as derivadas laterais de $f$ no ponto $x=1:$

•   Calculando a derivada lateral à esquerda    (por valores menores que 1):

$\displaystyle\lim_{h\to 0^-}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}\\\\\\ =\lim_{h\to 0^-}\dfrac{|(1+h)-1|-|1-1|}{h}\\\\\\ =\lim_{h\to 0^-}\dfrac{|h|-|0|}{h}\\\\\\ =\lim_{h\to 0^-}\dfrac{|h|}{h}$


Mas se $h$ tende a zero pela esquerda, então $h<0,$ e o limite fica

$=\displaystyle\lim_{h\to 0^-}\dfrac{-h}{h}\qquad\quad\text{(pois }|h|=-h\text{ para }h<0)\\\\\\ =\lim_{h\to 0^-}(-1)\\\\\\ =-1\qquad\quad\mathbf{(i)}$


•   Calculando a derivada lateral à direita    (por valores maiores que 1):

(de forma análoga...)

$\displaystyle\lim_{h\to 0^+}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}\\\\\\ =\lim_{h\to 0^+}\dfrac{|(1+h)-1|-|1-1|}{h}\\\\\\ =\lim_{h\to 0^+}\dfrac{|h|-|0|}{h}\\\\\\ =\lim_{h\to 0^+}\dfrac{|h|}{h}$


Mas se $h$ tende a zero pela direita, então $h>0,$ e o limite fica

$=\lim\limits_{h\to 0^+}\dfrac{h}{h}\qquad\quad\text{(pois }|h|=h\text{ para }h>0)\\\\\\ =\lim\limits_{h\to 0^+}1\\\\\\ =1\qquad\quad\mathbf{(ii)}$

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(II)    Por $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(ii)},$

$-1\ne 1$


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$\displaystyle\lim_{h\to 0^-}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}\ne \lim_{h\to 0^+}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}\\\\\\ \nexists~~\lim_{h\to 0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$


∴   $f$ não é derivável em $x=1.$

(o limite que define a derivada neste ponto não existe)


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Bons estudos! :-)


Tags: definição derivadas laterais função modular módulo limite derivável real cálculo diferencial