Question

Após uma pesquisa de mercado, vocês chegaram à conclusão de que o custo marginal** (R$) para a produção mensal de n unidades dessa placa eletrônica é dado por

dc/dn= C'(n) = 60-0,04n

    

** o custo marginal é a primeira derivada da função C(n). A função C(n) estima o custo mensal total C, em R$,  para a produção mensal de n unidades, para 0 = n = 3000.



Adote que o custo mensal total para a produção de 100 (cem) placas eletrônicas é C(100) = R$ 17.800,00.



1) [Valor: 4,0 pontos] Determine o modelo matemático que projeta o Custo Mensal Total para a produção de n placas, ou seja, obtenha a função C(n).

2) [Valor: 1,5 pontos] Determine o valor do Custo Fixo Mensal, ou seja, calcule C(0).

3) [Valor: 1,5 pontos] Determine o valor do custo mensal total para a produção de 1000 placas, ou seja, calcule C(1000).

4) [Valor: 3,0 pontos] Represente, no plano cartesiano, a função C(n) e determine o intervalo de produção de placas para o qual o custo mensal total é crescente e o intervalo de produção de placas para o qual o custo mensal total é decrescente. 

(Observe que domínio de validade da função C(n) é 0 = n = 3000)

Answer 1

Resposta:

1) Cn - 0,006n^3 + 30n^2 + C

2) C = R$2789,89

3) R$23976,02

4)

O custo crescente é de 19.500.000 de placas

Para a função decrescente é o valor negativo de placas, sendo então -19.500.000 placas

Explicação passo-a-passo:

1) Para determinarmos o Custo Mensal Total fazemos a integral de 60-0,04n, desse modo encontramos a função anti-derivada, para acharmos a primitiva fazemos novamente a integral de 60n-0.02n^2+cdn:

Passo 1) Integramos a função 60-0,04n

Passo 2) Integramos o resultado da integral 60n-0.02n^2+cdn

Resultado final para o modelo matemático:  

Cn - 0,006n^3 + 30n^2 + C

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2) Aplicando a formula para achar o valor de C, C equivale ao custo fixo mensal:

17800 =  30.(100^2) - 0,006.(100^3) - C(100) + C

17800 = 30.10000 - 0,006.1000000 - C100 + C

17800 = 300000 - 6000 - C100 + C

17800 - 300000 + 6000 = -C100 + C

-276200 = -99C

C = 276200/99

C = R$2789,89

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3) Para acharmos o valor do custo mensal de 1000 placas substituímos o 1000 no lugar do n da primeira função:

Cn - 0,006n^3 + 30n^2 + C

1000C - 0,006(1000^3) + 30(1000^2) + C

1000C - 0,006(1000000000) + 30(1000000) + C

1001C - 6000000 + 30000000

1001C = 6000000 - 30000000

1001C = -24000000

C = -24000000/1001

C = -23976,02

Por termos um valor negativo, significa que temos uma perda de R$23976,02

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4) Para o plano cartesiano podemos definir a função:

Primeiro precisamos desconsiderar o a constate C da função primitiva:

- 0,006n^3 + 30n^2

Após isso multiplicaremos por 1000 para deixar de ser número decimal:

-6n^3 + 30000n^2

Por fim podemos também deixar em evidência:

-6n^2(n+5000)

Com essa função pegamos o interior e colocamos no gráfico:

Agora para sabermos que o custo mensal crescente, faremos do ponto 0 até a validade (3000, conforme dito no enunciado)

Então faremos uma integral definida tendo como os ponto 0 até 3000:

Então para a = 3000, b = 0 e a função a ser integrada será n+5000dn

O custo crescente é de 19.500.000 de placas

Para a função decrescente é o valor negativo de placas, sendo então -19.500.000 placas