Question

Após um comprimido de antibiótico ser ingerido, a concentração de antibiótico na corrente
sanguínea é modelada pela função
C(t) = 8(e-0,41
- e -0,6t),
onde o tempo té medido em horas e Cé medido em ug/mL. Com isso, responda o que se pede
a) Em qual instante a concentração atinge a concentração máxima?Em
horas.

b) Qual o sinal da segunda derivada do modelo no instante de concentração máxima?​

Answer 1

Dada a função de concentração do antibiótico

$C(t) = 8(e^{-0.41t}-e^{0.6t})$

Queremos obter o momento em que a concentração é máxima, ou seja, analisaremos o ponto a qual sua derivada é nula.

$C'(t) = 8(-0.41e^{-0.41t}+0.6e^{-0.6t}) = 0$

$-0.41e^{-0.41t}+0.6e^{-0.6t} = 0$

$0.41e^{-0.41t} = 0.6e^{-0.6t}$

$\dfrac{0.6}{0.41} = \dfrac{e^{0.6t}}{e^{0.41t}}$

$e^{0.19t} = \dfrac{6}{4.1}$

$0.19t = \ln\left(\dfrac{6}{4.1}\right)$

$\therefore \, t = \dfrac{1}{0.19}\cdot \ln\left(\dfrac{6}{4.1}\right)$

$t \approx 2$

Após 2 horas a concentração de antibiótico na corrente sanguínea se maximiza.

Se a concentração é máxima, então a segunda derivada deve ser negativa, o que realmente acontece, já que

$C''(t) = 8(0.41^2e^{-0.41t}-0.6^2e^{-0.6t})$

$C''(2) = 8(0.1681e^{-0.82}-0.36e^{-1.2}) \approx -0.28$