Question

Após tomar dois cálices de vinho, um motorista verificou que o índice de álcool em seu sangue era de 0,5 g/l . Ele foi informado que esse índice decresceria de acordo com a seguinte igualdade: Q(t)=k⋅2 –t (onde k = índice constatado quando foi feita a medida; t = tempo, medido em horas, a partir do momento dessa medida.) Sabendo que o limite do índice permitido pela lei seca é de 0,2 g/l , para dirigir mantendo-se dentro da lei, quanto tempo o motorista deverá esperar?(Não use calculadora, use 0,3 para log 2 )

Answer 1

Vamos começar determinando o índice K.

O momento que foi feita a medida de 0,5g/l será o instante com t = 0, substituindo os dados na equação, temos:

$Q(t)~=~k~.~2^{-t}\\\\\\0,5~=~k~.~2^{-1\,.\,0}\\\\\\0,5~=~k~.~2^0\\\\\\0,5~=~k~.~1\\\\\\\boxed{k~=~0,5}$

Estamos interessados no tempo decorrido quando Q(t) chega a 0,2g/l, logo substituindo na equação:

$Q(t)~=~k~.~2^{-t}\\\\\\0,2~=~0,5~.~2^{-t}\\\\\\2^{-t}~=~\frac{0,2}{0,5}\\\\\\2^{-t}~=~\frac{2}{5}\\\\\\Aplicando~o~logaritmo~nos~dois~lados:\\\\\\log\,(2^{-t})~=~log\,\left(\frac{2}{5}\right)$

$Aplicando~a~propriedade~do~logaritmo~do~expoente\\\\\\-t\,.\,log\,2~=~log\,\left(\frac{2}{5}\right)\\\\\\Aplicando~a~propriedade~do~logaritmo~do~quociente\\\\\\-t\,.\,log\,2~=~log\,2~-~log\,5\\\\\\-t\,.\,log\,2~=~log\,2~-~log\,\left(\frac{10}{2}\right)\\\\\\Aplicando~novamente~a~propriedade~do~logaritmo~do~quociente$

$-t\,.\,log\,2~=~log\,2~-~\left(log\,10~-~log\,2\right)\\\\\\-t~=~\frac{log\,2~-~\left(log\,10~-~log\,2\right)}{log\,2}\\\\\\t~=\,-~\frac{log\,2~-~\left(log\,10~-~log\,2\right)}{log\,2}\\\\\\Substituindo~o~valor~dos~logaritmos$

$t~=\,-~\frac{0,3~-~\left(1~-~0,3\right)}{0,3}\\\\\\t~=~-~\frac{0,3~-~0,7}{0,3}\\\\\\t~=~-~\frac{-0,4}{0,3}\\\\\\\boxed{t~=~\frac{4}{3}~horas}$

Resposta: O motorista deverá esperar 4/3 horas ou, como 1h=60min, deverá esperar 1h20min.