Question

Apos registrar os resultados dos testes de COVID-19
realizados em determinado dia, verificou-se que todos
foram validados e que 25% deles atestaram positivo.
Considere que, do total de testes, 5 registros foram
retirados aleatoriamente.
A probabilidade que
exatamente três deles sejam de testes positivos para
COVID-19 é:

Answer 1

Olá Larissa, para resolver esse problema de distribuição binomial, primeiro vamos ver o que é a distribuição binomial:

A distribuição binomial é uma distribuição de probabilidade discreta que conta o número de sucessos em uma sequência de n tentativas de Bernoulli mutuamente independentes com uma probabilidade fixa p de sucesso ocorrer entre as tentativas.

• A fórmula da probabilidade binomial é:

$\large\displaystyle \sf P(X=x)=\binom{n}{x} p^x\cdot q^{n-x}$

Sendo:

P = probabilidade binomial

x = número de vezes para obter um resultado específico em n tentativas

p = probabilidade de sucesso em uma única tentativa

q = probabilidade de falha em uma única tentativa

n = número de tentativas

Problema:

Apos registrar os resultados dos testes de COVID-19 realizados em determinado dia, verificou-se que todos foram validados e que 25% deles atestaram positivo. Considere que, do total de testes, 5 registros foram retirados aleatoriamente. A probabilidade que exatamente três deles sejam de testes positivos para COVID-19 é:

Se quisermos calcular a probabilidade de que 3 pessoas em 5 saiam positivas no teste covid 19, devemos saber qual é a probabilidade de saírem negativas no teste, isso é coberto pelo percentual restante de 100% .

• 100% - 25% = 75% saírem negativas.

Essas porcentagens em frações podem ser iguais a:

$\sf \large p= \dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}$

$\sf \large q= \dfrac{75}{100}=\dfrac{3}{4}$

Substituímos em ma fórmula de probabilidade binomial e obtemos:

$\large\displaystyle\sf P(X=3)=\binom{5}{3}\cdot \dfrac{1}{4}^3\cdot \dfrac{3}{4}^{5-3}$

$\sf \large P(X=3)=\dfrac{5!}{3!\cdot(5-3)!} \cdot \dfrac{1}{64}\cdot \dfrac{3}{4}^2$

$\sf \large P(X=3)=\dfrac{5\cdot 4\cdot \not 3!}{\not 3!\cdot2!}\cdot \dfrac{1}{64}\cdot \dfrac{9}{16}$

$\sf \large P(X=3)=\dfrac{20}{2}\cdot \dfrac{1}{64}\cdot \dfrac{9}{16}$

$\sf \large P(X=3)=10 \cdot \dfrac{1}{64}\cdot \dfrac{9}{16}$

$\sf \large P(X=3)=10 \cdot \dfrac{9}{1024}$

$\sf \large P(X=3)= \dfrac{90}{1024}$

Simplifique a fração para obter o menor resultado possível:

$\sf \large P(X=3)= \dfrac{90\div2}{1024\div2}=\dfrac{45}{512}$

A probabilidade de até 3 pessoas testarem positivo para covid 19 é igual a 45/512 opção a).

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$\textit{\textbf{Nitoryu}}$