Question

Após escolher esses três pontos você deve substituí-los na função y(x) = ax² + bx + c, e realizar os procedimentos necessários para determinar os valores de a, b e c. Após determinar esse valor você terá uma função que descreve a temperatura em relação ao tempo em um dia.


4)Agora você terá que determinar qual a variação da temperatura em relação ao tempo. Para isso você deverá utilizar seus conhecimentos de cálculo diferencial e integral I.


5)Por fim você irá verificar se o ponto máximo ou mínimo da função corresponde com a temperatura máxima ou mínima real no intervalo observado. Para isso você deve encontrar o ponto de máximo ou mínimo da função encontrada utilizando o teste da primeira ou da segunda derivada. Após encontrar esse valor compare com a temperatura máxima que foi atingida no período estudado e no dia estudado. Os valores são próximos? São iguais? São muito distantes?

Answer 1

A equação do segundo grau é: y = 1/36 x² + 3/2 x - 10.

A variação da temperatura em função do tempo é: 1/18 x + 3/2.

A temperatura mínima é -30,25.

Vamos escolher, aleatoriamente, três pares ordenados com horário e temperatura. Os valores escolhidos são: (0, -10), (6, 0) e (12, 12). Substituindo os três pontos, obtemos os seguintes coeficientes:

$(0,-10) \\ -10=0^2a+0b+c \rightarrow c=-10 \\ \\ (6,0) \\ 0=6^2a+6b-10 \rightarrow 36a+6b=10 \\ \\ (12,12) \\ 12=12^2a+12b-10 \rightarrow 144a+12b=22 \\ \\ 72a=2 \rightarrow a=\frac{1}{36} \\ \\ 6b=10-36\times \frac{1}{36} \rightarrow b=\frac{3}{2} \\ \\ \\ \boxed{y=\frac{1}{36}x^2+\frac{3}{2}x-10}$

Para determinar a variação da temperatura em função do tempo, devemos derivar a equação em função da incógnita que expressa o tempo. Com isso, obtemos o seguinte valor:

$\frac{dT}{dt} =2\times \frac{1}{36}x+\frac{3}{2}+0=\frac{1}{18}x+\frac{3}{2}$

Uma vez que o coeficiente angular é positivo, temos a concavidade volta para cima, o que indica um ponto de mínimo. Para determinar esse valor, devemos igualar a derivada a zero. Portanto, o horário e a temperatura mínima são:

$\frac{1}{18}x+\frac{3}{2}=0 \\ \\ x=-27 \\ \\ y(27)=\frac{1}{36}\times (-27)^2+\frac{3}{2}\times -27-10=-30,25$