Question

apos encontrar os pontos críticos da função f(x)= x³ -12x +10 , é possível afirmar que :


A função possui um minimo local quando x= -2 ;

A função possui um máximo local quando x= -2 ;

A função possui um minimo local igual a 7 ;

A função possui um minimo local igual a 20 ;

A função possui um máximo local igual a -6 ;

Answer 1

Encontrar os pontos críticos e extremos (máximo/mínimo) da função

     f(x) = x³ − 12x + 10


Como a função é polinomial, ela é derivável em todos os pontos do seu domínio. Então, os pontos críticos serão aqueles nos quais a 1ª derivada se anula.

Derivando,

     f'(x) = 3x³⁻¹ − 12 · 1x¹⁻¹ + 0

     f'(x) = 3x² − 12


Nos pontos críticos de  f,  devemos ter

     f'(x) = 0

     3x² − 12 = 0

     3x² = 12

     x² = 12/3

     x² = 4

     x = ± 2

     x = − 2     ou     x = 2     <————     pontos críticos.

—————

Estudando o sinal da 1ª derivada nas vizinhanças dos pontos críticos:

     f'(x) = 3x² − 12

     + + + + + + • − − − − − − • + + + + + +
                     − 2                  2


A 1ª derivada é

     •   positiva em  (−∞, −2);

     •   negativa em  (−2, 2);

     •   positiva em  (2, +∞).


O sinal da 1ª derivada muda ao passar pelos pontos dois críticos. Isto siginifica que

     •   f  é crescente em  (−∞, − 2),  depois atinge valor máximo local em  x = − 2;

     •   f  é decrescente em  (−2, 2),  depois atinge valor mínimo local em  x = 2;

     •   f  é crescente em  (2, +∞).


A função tem dois pontos extremos:

     •   f  tem um máximo local em  x = − 2;

     •   f  tem um mínimo local em  x = 2.


Somente a 2ª afirmativa é a correta.


Bons estudos! :-)