Question

Após encontrar os pontos críticos da função f(x)=x^3-12x+10, em qual ponto é máximo ou mínimo?

Answer 1

Olá, Yasmin!

Pela definição de ponto crítico da função sabemos que:

f(x) --> é um Nº crítico quando f'(c)=0 ou f'(c) não existe. 

Ou seja, o ponto crítico de uma função é o ponto em que a derivada da função tem valor zero ou não existe. Sendo assim, derivaremos a função dada pelo enunciado a fim de encontrar seu ponto crítico:

f(x)= x³-12x+10

Lembrando que:

h'(x)= n.$x^{n-1}$

Portanto:

f'(x)= 3x²-12

Para encontrar o ponto crítico, igualaremos f'(x)=0 :

3x²-12=0
3x²= 12
x²= 4
x= 2 ou x= -2 --> Chamemos esses pontos de c1= 2 e c2= -2.

Existe um teorema que afirma o seguinte: se f"(c)=0 e f''(c)>0, então f terá um mínimo local em C. Agora, se f'(c)=0 e f'''(c)<0, então f terá um máximo local em C. Então:

f''(x)= 6x
f''(c1)= 6.c1
f''(2)= 12 --> f''(c1)>0 então o ponto 2 do gráfico será um mínimo local em c.

Agora:

f''(c2)= 6.c2
f''(-2)= 6.-2
f''(-2)= -12 --> f''(c2)<0, então no ponto -2 teremos um máximo local em c.

Bons estudos, até mais!