Matemática, perguntado por erodrigues, 1 ano atrás

Após encontrar os pontos críticos da função f(x)=3x^4-8x^3+6x^2+2, é possível afirmar

A função possui um máximo local quando x=1
A função possui um máximo local igual a 2
A função possui um minimo local igual a -10
A função possui um minimo local quando x=0
A função possui um minimo local igual a 7

Soluções para a tarefa

Respondido por gabrieldoile
6
Temos que:

f(x) = 3x^4-8x^3+6x^2+2

Calculando a derivada:

\dfrac{d}{dx} ~(3x^4-8x^3+6x^2+2) = 12x^3 - 24x^2 + 12x = x(12x^2 - 24x + 12)

Logo temos os pontos críticos igualando a derivada a zero:

x(12x^2 - 24x + 12) = 0 \\  \\ 
x_{3} = 0

Um dos pontos necessariamente terá que ser igual a zero, logos os outros dois serão:

12x^2 - 24x + 12 = 0 \\  \\ 
x^2 - 2x + 1 = 0 \\  \\ 
 \left \{ {{x_{1} + x_{2} = 2 } \atop {x_{1}*x_{2}=1}} \right.  \\  \\ 
x_{1} = 1 \\  
x_{2} = 1 \\  \\

Logo os pontos críticos são:

x = 0 \\  \\ 
x = 1

Para determinar os máximos e mínimos locais, faremos o estudo do sinal na derivada:

• Para valores menores do que zero, resulta em um valor negativo.
• Para valores entre zero e um, resulta em um valor positivo.
• Para valores maiores do que um, resulta em um valor positivo.

Em x = 1, função passa de crescente para crescente, logo não há máximo nem mínimo local.

Em x = 0, a função passa de decrescente para crescente, logo há um mínimo local no ponto (0,0).
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