Question

Após encontrar os pontos críticos da função f(x) = 18x + 3x2 - 4x3 podemos afirmar que:
A - a função possui o máximo local quando x=7
B - a função possui o máximo local quando x=-1
C - a função possui o máximo local quando x=3/2
D - a função possui o minimo local quando x=7
E - a função possui o minimo local quando x=3/7

Answer 1

$f(x)=18x+3x^2-4x^3$

para encontrar os pontos criticos vc tem que fazer f'(x)=0

derivando:
$f'(x)=18+3*2x^{2-1}-4*3x^{3-1}\\\\f'(x)=18+6x-12x^2$

fazendo f'(x)=0
$18+6x-12x^2=0$

aplicando bhaskara para encontrar o valor de x

$x= \frac{-B\pm \sqrt{B^2-4AC} }{2A} \\\\ x= \frac{-6\pm \sqrt{6^2-4*(-12)*18} }{2*(-12)} \\\\ x= \frac{-6\pm \sqrt{900} }{-24} \\\\ x= \frac{-6\pm 30 }{-24}\to \Bmatrix x=\frac{-6-30}{-24} = \frac{3}{2} \\\\x= \frac{-6+30}{-24}=-1 \end$


os pontos criticos são:  xo=3/2 e xo=-1

com isso a duvida fica entre B ou C:
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

verificando se os pontos são maximos ou minimos:
fazendo o teste da segunda derivada:

se f''(xo) > 0 então xo é um ponto de minimo
se f''(xo) < 0 então xo é um ponto de maximo

derivando novamente
$f''(x)=0+6-12*2x^{2-1} \\\\f''(x)= 6-24x \\\\f''( \frac{3}{2})= 6-24* \frac{3}{2} = -30 \\\\f''(-1)= 6-24*(-1)= 30$

x= 3/2 é um ponto maximo
x= -1 é um ponto minimo 

resposta  C)