Question

Após analisar o comportamento da função f(x)=8x^3+30x^2+24x+10 podemos afirmar que:

A função possui um minimo local x= -1/2
A função possui um máximo local igual a 38
A função possui um minimo local quando x=-2
A função é estritamente crescente em [-2,-1/2]
A função é estritamente decrescente em ]-∞,-2]

Answer 1

•Temos o seguinte:

$f(x) = y = 8x^3+30x^2+24x+10$

Calculando sua derivada:

$\dfrac{dy}{dx} = 24x^2 + 60x + 24 = 2x^2 + 5x + 2$

Igualando a derivada a zero temos os pontos críticos:

$2x^2 + 5x + 2 = 0 \\ \\ \Delta = 5^2 - (4*2*2) \\ \Delta = 25 - 16 \\ \Delta = 9 \\ \\ x' = \frac{-5 + \sqrt{9} }{4} = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{1}{2} = -0,5 \\ \\ x'' = \frac{-5 - \sqrt{9} }{4} = \frac{-5 -3 }{4} = -\frac{8}{4} = -2$

Analisando os pontos em relação a derivada temos:

• Para valores menores que -2, temos um valor positivo.
• Para valores entre -2 e -0,5, temos um valor negativo.
• Para valores maiores que -0,5, temos um valor positivo.

Logo:

• Há um mínimo local em x = -0,5.
• Há um máximo local em x = -2.

Como temos um mínimo em x = -0,5 e um máximo em x = -2, logo temos que:

• A função é crescente no intervalo fechado de [-2,-0,5].

• E a função a decrescente no intervalo de ]-∞,-2].