Question

Após analisar as afirmações a seguir sobre produtos notáveis a fatoração marque com(V) oque for verdadeiro e, com (F),oque for falso. (3a²-2b)²=9a⁴-12a²b+²( ). (a-b)³=a³-b³ ( ) 64a²-49b²=(8a-7b)(8a+7b)( ). 4a²-16b²=(2a-4b)² ( ). a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)( )​

Answer 1

Usando os desenvolvimentos de diferentes produtos notáveis, obtém-se:

a) F       b) F       c) V       d) F       e) V

Fazendo o desenvolvimento dos produtos notáveis obter-se-á a determinação de igualdade verdadeira ou não

a)

( F )

$(3a^2-2b)^2=9a^4-12^2b+^2~$

Na parte final apenas está " elevado ao quadrado ", partindo do princípio de que não é um erro de impressão, pode tornar falsa esta igualdade

$(3a^2-2b)^2=(3a^2)^2-2\cdot 3a^2\cdot 2b+(2b)^2\\\\(3a^2-2b)^2=3^2\cdot(a^2)^2-12a^2b+2^2b^2\\~\\(3a^2-2b)^2=9a^4-12a^2b+4b^2$

Aqui é um Quadrado de uma Diferença, cujo desenvolvimento é :

• quadrado do primeiro termo

menos

• o dobro d o primeiro termo pelo segundo termo

mais

• quadrado do segundo termo

   

Nota 1 → Quadrado de um produto

Quando se tem esta operação tem que se elevar ambos os fatores ao quadrado.

Exemplo:

$(3a^2)^2=(3^{1}\cdot a^2)^2=3^{(1\cdot2)}\cdot a^{(2\cdot2)}=3^2 \cdot a^4=9a^4$

b)  

( F )

$(a-b)^3=a^3-b^3\\~\\(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

Esta é a regra direta para " o Cubo de uma Diferença", logo falso o que aqui está.

c)

( V )

$64a^2-49b^2=8^2a^2-7^2b^2=(8a)^2-(7b)^2=(8a-7b) \cdot(8a+7b)$

Nota 2 → Produto da diferença pela soma

Exemplo:

$(a-b)\cdot (a+b)=a^2-b^2$

Mas é preciso saber que se se partir do fim para o início também se verifica ser correto

$(a^2-b^2) = (a-b)\cdot (a+b)$

d)

( F )

$4a^2-16b^2$

Como se viu mesmo agora na alínea c)

$4a^2-16b^2=2^2a^2-4^2b^2=(2a)^2-(4b)^2= (2a-4b)\cdot (2a+4b)$

e)

( V )

$a^3+b^3=(a+b) \cdot (a^2-ab+b^2)$  

Para verificar a verdade ou não desta afirmação, vai-se usar a propriedade distributiva da multiplicação , na expressão do segundo membro.

$(a+b) \cdot (a^2-ab+b^2)\\~\\= a\cdot a^2-a\cdot a b+a\cdot b^2+b\cdot a^2-b\cdot ab+b\cdot b^2\\~\\=a^{(1+2)}-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^{(1+2)}\\~\\=a^3-a^2b+a^2b+ab^2-ab^2+b^3\\~\\=a^3+0+0+b^3\\~\\=a^3+b^3$

Nota 3 → Nesta última alínea fui colocando monômios semelhantes lado a lado para se ver bem que são simétricos ( opostos)

Sua soma dá zero.

Exemplo aqui:

$-a^2b+a^2b=0$  e   $+ab^2-ab^2=0$

Nota 4 → Monômios semelhantes são aqueles que têm a mesma parte literal $a^2b$

$-a^2b+a^2b=-1\cdot a^2b+1\cdot a^2b$

→ parte literal $a^2b$

→ coeficientes $-1$ e $+1$

Nota 5 → Coeficientes "escondidos"

Repare-se que $a^2b$  parece não ter nenhum coeficiente.

Mas tem e é " $+1$ "

Os matemáticos decidiram que não é preciso ser colocado. Simplifica a

escrita simbólica.

Mas tem que se lembrar que eles estão lá, quando for necessário os

utilizar em algum cálculo.

Nota 6 → Expoentes escondidos

Algo semelhante se passa com os expoentes.

Ter a expressão " $3x$ " aparentemente não tem nenhum expoente.

Mas tem:

$3^1\cdot x^1$

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Bons estudos.

Att     Duarte Morgado

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$(\cdot)$  multiplicação

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.