Question

Aplique o Teorema do Valor Intermediário para provar que a equação x^3 -4x +1 = 0 tem três raízes reais distintas .

Answer 1

O Teorema do Valor Intermediário diz que:

"Sejam I um intervalo em IR e f: I → IR uma função contínua em I. Se a, b ∈ I e k ∈ IR satisfazem f(a) < k < f(b) então existe um ponto c ∈ I tal que f(c) = k.".

A função f(x) = x³ - 4x + 1 é contínua, pois é um polinômio.

Como queremos saber a existência das raízes, então k = 0.

Considere o intervalo [-3,-2]. A função f é contínua nesse intervalo e:

f(-3) = -14 < 0 < 1 = f(-2)

Portanto, existe um c entre -3 e -2 tal que f(c) = 0.

Intervalo [0,1].

Temos que f é contínua nesse intervalo e:

f(1) = -2 < 0 < 1 = f(0)

Portanto, existe um c entre 0 e 1 tal que f(c) = 0.

Intervalo [1,2].

Temos que f é contínua nesse intervalo e:

g(1) = -2 < 0 < 1 = f(2)

Portanto, existe um c entre 1 e 2 tal que f(c) = 0.

Portanto, a função f possui três raízes reais distintas.