Question

Aplique as propriedades e reduza as expressões a uma só potência.

Answer 1

Após a realização dos cálculos concluímos que:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ a) \quad 17^{2n+2} \cdot 17^n = 17^{3n+2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ b) \quad \left( - \dfrac{1}{2} \right)^{n-1} \div \left( - \dfrac{1}{2} \right)^{n+3} = \left( - \dfrac{1}{2} \right)^{-4} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ c) \quad \left [ (75)^n \right]^{-4} = (75)^{-4n} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d) \quad a^{n-1} \div a^n = a^{-1} } }$

A potenciação são multiplicações de fatores iguais.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{a^{n} = \underbrace{ \sf a \cdot a \cdot a \cdot \: \: \dotsi \: \: \cdot a }_{ \sf n \: \: fatores} } }$

Por definição, temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ \bullet \:\: a^0 = 1 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \bullet \:\: a^1 = a }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \bullet \:\: 1^n = 1 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \bullet \:\: 0^n = 0 }$

Regras:

Potência de base negativa:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ ( -)^{par} = + \: \: \to (-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = +4 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ ( -)^{impar} = - \: \: \to (-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = - 8 } }$

Potência de expoente negativo:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ a^{-n} = \left( \dfrac{1}{a} \right)^n = \dfrac{1}{a^n} } }$

Potência de base e expoente fracionários:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ a^{m/n} = \sqrt[ \sf n]{ \sf a^m} } }$

Propriedade:

Multiplicação de Potências de mesma base:

Conserva-se a base e soma-se os expoentes.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ a^m \cdot a^n = a^{m+n} } }$

Divisão de Potências de mesma base:

Conserva-se a base e subtrai-se os expoentes.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ a^m \div a^n = a^{m-n} } }$

Potência de Potência:

Conserva-se a base e multiplica-se os expoentes.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ (a^m)^n = a^{m \times n} } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ a) \quad 17^{2n+2} \cdot 17^n } }$

Resolvendo e aplicando a propriedade de potência, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 17^{2n+2} \cdot 17^n = 17^{2n +2 +n } = 17^{3n+2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ b) \quad \left( - \dfrac{1}{2} \right)^{n-1} \div \left( - \dfrac{1}{2} \right)^{n+3} } }$

Resolvendo, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \left( - \dfrac{1}{2} \right)^{n-1} \div \left( - \dfrac{1}{2} \right)^{n+3} = \left( - \dfrac{1}{2} \right)^{n -1 -n -3} = \left( - \dfrac{1}{2} \right)^{-4} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ c) \quad \left [ (75)^n \right]^{-4} } }$

Resolvendo, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \left [ (75)^n \right]^{-4} = (75)^{-4n} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d) \quad a^{n-1} \div a^n } }$

Resolvendo, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{a^{n-1} \div a^n = a^{n-1 -n} = a^{-1}} }$

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