aplique as prioridades dos logaritmos log4 ( 64÷32)
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Tatiane, que a resolução é simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se para aplicar as propriedades logarítmicas na seguinte expressão, que vamos chamá-la de um certo "x" apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:
x = log₄ (64/32) ---- vamos transformar a divisão em subtração (é uma propriedade logarítmica). Assim ficaremos com:
x = log₄ (64) - log₄ (32) ----- veja que 32 = 16*2. Assim, ficaremos com:
x = log₄ (64) - log₄ (16*2) ----- agora vamos transformar o produto em soma (também é uma propriedade logarítmica), ficando assim:
x = log₄ (64) - (log₄ (16) + log₄ (2) ) ---- retirando-se os parênteses, iremos ficar assim:
x = log₄ (64) - log₄ (16) - log₄ (2) ---- agora note que 4 = 2². Assim, iremos ficar da seguinte forma;
x = log₂² (64) - log₂² (16) - log₂² (2) ---- veja mais uma propriedade logarítmica: o INVERSO do EXPOENTE DA BASE passa a multiplicar o respectivo log. Assim, iremos ficar com (note que o inverso de cada expoente "2" da base é igual a "1/2"):
x = (1/2)*log₂ (64) - (1/2)*log₂ (16) - (1/2)*log₂ (2)
Agora veja que: 64 = 2⁶; 16 = 2⁴ . Assim, ficaremos com:
x = (1/2)*log₂ (2⁶) - (1/2)*log₂ (2⁴) - (1/2)*log₂ (2) ---- veja que o expoente do logaritmando passa a multiplicar o respectivo log (é outra propriedade logarítmica). Assim, iremos ficar da seguinte forma:
x = 6*(1/2)*log₂ (2) - 4*(1/2)*log₂ (2) - (1/2)*log₂ (2) ---- desenvolvendo, temos:
x = (6/2)*log₂ (2) - (4/2)*log₂ (2) - (1/2)*log₂ (2) ---- continuando, temos:
x = 3*log₂ (2) - 2*log₂ (2) - (1/2)*log₂ (2) ----- note que log₂ (2) = 1, pois quando o logaritmando é igual à base o logaritmo sempre é igual a "1". Então ficaremos com:
x = 3*1 - 2*1 - (1/2)*1 ----- desenvolvendo, ficaremos com:
x = 3 - 2 - 1/2 ------ mmc = 2. Assim, utilizando-o teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der multiplica-se pelo numerador):
x = (2*3 - 2*2 - 1*1)/2 ----- desenvolvendo, temos:
x = (6 - 4 - 1)/2 ---- continuando o desenvolvimento, teremos:
x = 1/2 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o valor da sua expressão logarítmica original [log₄ (64/32).
Veja que no desenvolvimento da nossa resposta aplicamos várias propriedades logarítmicas apenas para mostrar a você os vários tipos de propriedades existentes. Mas se você quisesse resolver a questão sem praticamente nenhuma aplicação de propriedade, bastaria fazer assim:
x = log₄ (64/32) ----- como "64/32 = 2", teremos:
x = log₄ (2) ------ Agora bastaria aplicar a definição de logaritmo. Pela definição, o que temos aqui é a mesma coisa que:
4ˣ = 2 ----- note que 4 = 2² e o "2" do 2º membro, que está sem expoente, tem, na verdade, expoente igual a "1". Apenas não se coloca. Mas é como se tivéssemos isto:
(2²)ˣ = 2¹ ----- desenvolvendo, teremos:
2²ˣ = 2¹ ---- como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo:
2x = 1
x = 1/2 <--- Olha aí como a resposta é a mesma.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Resposta:
log4 (64/32)
****64/32=2
log4 2
***log[a] b =log b/log a .... [a] é a base
log 2 / log 4
****4=2²
log 2/ log 2²
**** log a^b = b * log a
log 2 / (2*log 2)
=1/2 é a resposta