Question

Aplique a transformada de Laplace na equação abaixo:

$\huge f(t) = 2t^3 +4sen(2t)cos(2t)$

Answer 1

A transformada de Laplace é

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\mathcal{L}\left\{2t^3 + 4\sin(2t)\cos(2t)\right\} = \frac{12}{s^4} + \frac{8}{s^2+16}\\ \\\end{gathered}$

Um dos usos da transformada de Laplace é resolver equações diferenciais de maneira algébrica, ou seja, fazemos a transformada, resolvemos uma equação em s, i.e. no domínio de Laplace e então sabemos qual é a solução da equação diferencial.

Para resolver o exercício temos que lembrar que

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\\\begin{cases}\mathcal{L}\left\{\alpha f(t) + \beta g(t)\right\} = \alpha\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}+ \beta\mathcal{L}\left\{g(t)\right\} & \text{(I)}\\ \\\mathcal{L}\left\{t^{n}\right\} = \frac{n!}{s^{n+1}}& \text{(II)}\\ \\\mathcal{L}\left\{\sin\left(\omega t\right)\right\} = \frac{\omega}{s^2+\omega^2} & \text{(III)}\end{cases}\end{gathered} }$

Além disso, utilizaremos a identidade trigonométrica

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\sin\left(2t\right) = 2\sin\left(t\right)\cos\left(t\right)\end{gathered}$

Portanto, utilizando a propriedade (I) que diz respeito a linearidade da transformada de Laplace temos

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\mathcal{L}\left\{f(t)\right\} = 2\mathcal{L}\left\{t^3\right\}+\mathcal{L}\left\{4\sin(2t)\cos(2t)\right\} \end{gathered}$

Utilizando a propriedade trigonométrica podemos inferir que

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}2\sin(4t) = 4\sin(2t)\cos(2t)\end{gathered}$

Ou seja

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\mathcal{L}\left\{4\sin(2t)\cos(2t)\right\} = \mathcal{L}\left\{2\sin(4t)\right\} \end{gathered}$

Com isso nosso problema se resume a

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\mathcal{L}\left\{f(t)\right\} = 2\mathcal{L}\left\{t^3\right\}+2\mathcal{L}\left\{\sin(4t)\right\} \end{gathered}$

Agora para caímos no caso em que já sabemos as transformadas de Laplace, vide (I) e (II), embora eu tenha dado essa fórmulas, deixarei em anexo um PDF deduzindo elas e alguns usos interessantes da transformada de Laplace.

Para a potência utilizamos (II)

                                           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}2\mathcal{L}\left\{t^3\right\} = 2\frac{3!}{s^{3+1}}\\ \\2\mathcal{L}\left\{t^3\right\} = \frac{12}{s^{4}}\\ \\\end{gathered} }$

E para a função seno (III)

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}2\mathcal{L}\left\{\sin(4t)\right\} = \frac{8}{s^2+16}\end{gathered}$

Logo nossa transformada de Laplace é

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\mathcal{L}\left\{2t^3 + 4\sin(2t)\cos(2t)\right\} = \frac{12}{s^4} + \frac{8}{s^2+16}\\ \\\end{gathered}$

Se preferir ainda podemos colocar o 4 em evidência

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\mathcal{L}\left\{2t^3 + 4\sin(2t)\cos(2t)\right\} =4\left( \frac{3}{s^4} + \frac{2}{s^2+16}\right)\\ \\\end{gathered}$

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários

Caso queria ver as demonstrações e usos da transformada de Laplace veja o PDF em anexo.

Veja mais sobre em:

brainly.com.br/tarefa/21038255

brainly.com.br/tarefa/9306894

 

a69f59cd76068a0325f4eb5216c05c53.pdf

Answer 2

A transformada de laplace da equação dada é:

        $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \mathcal{L}\left\{2t^3 +4\sin(2t)\cos(2t)\right\}=\frac{12}{s^{4}} +\frac{8}{s^2+16}\end{gathered} }$

A transformada de Laplace, de forma geral, é dada por:

             $\large\displaystyle\begin{gathered} \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\int _0^{\infty}e^{-st}f(t)dt\end{gathered}$

Mas temos alguma tabeladas já, as que irei utilizar são:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\blue{\square}\ \left(\mathcal{L}\left\{t^n\right\}=\frac{n!}{s^{n+1}}\right)\end{gathered} }$

$\large\displaystyle\begin{gathered} \blue{\square}\ \left(\mathcal{L}\left\{\sin(kt)\right\} =\frac{k}{s^2+k^2}\right) \end{gathered}$

Temos também as propriedades. As que iremos utilizar na transformada são:

$\large\displaystyle\begin{gathered} \red{\square}\ \mathcal{L}\left\{f(t)\pm g(t)\right\} = \mathcal{L}\left\{f(t\right\}\pm \mathcal{L}\left\{g(t)\right\} \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} \red{\square}\ \mathcal{L}\left\{\alpha f(t)\pm \beta g(t)\right\} = \alpha \mathcal{L}\left\{f(t\right\}\pm \beta \mathcal{L}\left\{g(t)\right\} \end{gathered}$

• Desejamos então calcular a seguinte transformada:

           $\large\displaystyle\begin{gathered} \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\mathcal{L}\left\{2t^3 +4\sin(2t)\cos(2t)\right\}\end{gathered}$

• Aplicando as propriedades e as transformadas tabeladas, temos:

 $\large\displaystyle\begin{gathered} \mathcal{L}\left\{2t^3 +4\sin(2t)\cos(2t)\right\}=2\mathcal{L} \left\{t^3\right\} +4\mathcal{L}\left\{\sin(2t)\cos(2t)\right\}\end{gathered}$

 $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \mathcal{L}\left\{2t^3 +4\sin(2t)\cos(2t)\right\}=2\cdot \frac{3!}{s^{3+1}} +4\mathcal{L}\left\{\sin(2t)\cos(2t)\right\}\end{gathered} }$

 $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \mathcal{L}\left\{2t^3 +4\sin(2t)\cos(2t)\right\}=2\cdot \frac{6}{s^{4}} +4\mathcal{L}\left\{\sin(2t)\cos(2t)\right\}\end{gathered} }$

  $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \mathcal{L}\left\{2t^3 +4\sin(2t)\cos(2t)\right\}= \frac{12}{s^{4}} +4\mathcal{L}\left\{\sin(2t)\cos(2t)\right\}\end{gathered} }$

Beleza, já achamos a primeira parte da transformada! :) Agora, para encontrar a outra, devemos ficar ligados. Sabendo que:

$\large\displaystyle\begin{gathered} \green{\square}\ \left( \sin(\alpha )\cdot \cos(\alpha )=\frac{\sin2\alpha }{2} \right)\end{gathered}$

• Ficando então:

 $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \mathcal{L}\left\{2t^3 +4\sin(2t)\cos(2t)\right\}= \frac{12}{s^{4}} +4\cdot \mathcal{L}\left\{\frac{\sin4t}{2} \right\}\end{gathered} }$

 $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \mathcal{L}\left\{2t^3 +4\sin(2t)\cos(2t)\right\}= \frac{12}{s^{4}} +\frac{4}{2} \mathcal{L}\left\{\sin4t\right\}\end{gathered} }$

 $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \mathcal{L}\left\{2t^3 +4\sin(2t)\cos(2t)\right\}= \frac{12}{s^{4}} +2\cdot \left(\frac{4}{s^2+16}\right) \end{gathered} }$

 $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\therefore \boxed{\boxed{\green{ \mathcal{L}\left\{2t^3 +4\sin(2t)\cos(2t)\right\}= \frac{12}{s^{4}} +\frac{8}{s^2+16}}}}\ \checkmark \end{gathered} }$

Veja mais sobre:

• brainly.com.br/tarefa/49454151