Question

Aplicando-se técnicas de integração como, por exemplo, integrações por partes, pode-se resolver questões do tipo: ∫ u . dv = u . v - ∫ v .du

Partindo desta premissa, o resultado da integral indefinida abaixo indicada é de:

∫ x . ln x dx

Answer 1

Para utilizar a técnica de integração por partes, precisamos de uma função u para derivar e encontrar o du e de uma função v que ira surgir de uma integração

• Tomando $u=\ln x$, temos du dado por

$du=\dfrac{1}{x}dx$

• Tomando $dv=x\,dx$, então temos v dada por

$\displaystyle\int dv=\dislaystyle\int x=\dfrac{x^{1+1}}{1+1}\\\\\\\Rightarrow v=\dfrac{x^2}{2}$

• Utilizando então agora a integração por partes temos

$\displaystyle\int \overbrace{u}^{\ln x}\overbrace{dv}^{x\,dx}= \overbrace{u}^{\ln x}\cdot\overbrace{v}^{\frac{x^2}{2}}- \displaystyle\int \overbrace{v}^{\frac{x^2}{2}}\overbrace{du}^{\frac{1}{x}dx}\\\\\\\Rightarrow \displaystyle\int x\cdot\ln x dx=\dfrac{x^2\ln x}{2}-\displaystyle\int \dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{x}dx=\dfrac{x^2\ln x}{2}-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int x\, dx\\\\\\\Rightarrow \displaystyle\int x\cdot\ln x dx=\dfrac{x^2\ln x}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x^{1+1}}{1+1}\right)+C$

$\boxed{\huge{\displaystyle\int x\cdot\ln x dx=\dfrac{x^2\cdot\ln x}{2}-\dfrac{x^2}{4}+C}}$

Letra B

Para saber mais: https://brainly.com.br/tarefa/19804341

https://brainly.com.br/tarefa/40475699

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