Question

Aplicando os conceitos da primeira e segunda derivadas. Qual o gráfico da função definida em R por f(x) = x3 - 3x?

Answer 1

Olá

1º vamos calcular as raízes de f(x), para sabermos onde o gráfico interceptará o eixo X

$f(x)=x^3-3x \\ \\ Fatora \\ \\ x(x^2-3) \\ \\ Raizes \\ \\ x\longrightarrow ~x=0 \\ \\ (x^2-3)\longrightarrow~\boxed{x'= \sqrt{3}}~~~~~ ~~~\longrightarrow \boxed{x''=- \sqrt{3} }$



Agora vamos derivar

$f(x)=x^3-3x \\ \\ f'(x)=3x^2-3$

Agora temos que encontrar as raízes de f'(x) para encontrar os valores de máximo e minimo

$(3x^2-3)~=~\longrightarrow \boxed{x'=1}\longrightarrow \boxed{x''=-1}$

Faz os estudo do sinal

f é crescente : ]-∞,-1[  U  ]1, +∞[
f é decrescente: ]-1,1[
Ponto de máximo: -1
Ponto de mínimo: 1

Para encontrar o valor máximo e minimo da função, basta pegar as raízes que encontramos na derivada, e substituir na f(x)

f(-1) = (-1)³ - 3(-1)
f(-1) = -1 + 3
f(-1) = 2          ← Valor máximo da função

f(1) = (1)³ - 3(1)
f(1) = 1 - 3
f(1) = -2         ← Valor mínimo da função 




Agora vamos partir para a segunda derivada

$f'(x)=3x^2-3 \\ \\ f''(x)=6x$

Encontra as raizes, e que serão os pontos de inflexão

$f''(x)=6x \\ \\ \boxed{x=0}$

A raiz deu 0, agora pega a raiz e substitui na f(x) para encontrarmos o ponto de inflexão

f(0) = (0)³ - 3(0)  =  0

Ponto de inflexão x=0 

então, para valores maiores que 0, a função é crescente, ou seja concava para cima, e para valores menores que 0, a função é decrescente(concava para baixo).


Para finalizar, resta analisar o gráfico no infinito, então temos que fazer a função tendendo a +∞ e -∞

1º fazendo com x tendendo a +∞

$\lim_{x \to +\infty} ~~ x^3-3x~~~~=\infty-\infty \\ \\ l'hopital \\ \\ \lim_{x \to +\infty} ~~ 3x^2-3~=3(\infty)^2-3=\infty-3=\boxed{\infty}$



Agora tendendo a -∞

$\lim_{x \to +\infty} ~~ x^3-3x~~~~=-\infty-\infty =\boxed{-\infty}$


Podemos concluir que o gráfico não tem limites laterais

Anexarei o gráfico, mas seria interessante vc juntar todas as informações aqui, e tentar esboçar por conta própria.


Dúvidas? comente.



Caso não consiga visualizar, tente abrir pelo navegador:
http://brainly.com.br/tarefa/7888361