Question

Aplicando o Método de Cramer qual a solução do sistema :

x + y- z= 0
2x + y - 2z= - 2
7x + 2y - 54 = -4

S=

Answer 1

Ae Julio,

tomando os coeficientes das variáveis à esquerda do sinal da igualdade, acharemos o determinante principal, vamos lá:

$\Delta= \left|\begin{array}{ccc}\mathsf{1}&\mathsf{1}&\mathsf{-1}\\\mathsf{2}&\mathsf{1}&\mathsf{-2}\\\mathsf{7}&\mathsf{2}&\mathsf{-5}\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}\mathsf{1}&\mathsf{1}\\\mathsf{2}&\mathsf{1}\\\mathsf{7}&\mathsf{2}\end{array}\right\\\\\\ \mathsf{\Delta=-5-14-4+7+4+10}\\ \mathsf{\Delta=-2}$


Para acharmos o determinante de x, use os termos independentes, ao invés dos coeficientes das variáveis x:

$\mathsf{\Delta_x}= \left|\begin{array}{ccc}\mathsf{0}&\mathsf{1}&\mathsf{-1}\\\mathsf{-2}&\mathsf{1}&\mathsf{-2}\\\mathsf{-4}&\mathsf{2}&\mathsf{-5}\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}\mathsf{0}&\mathsf{2}\\\mathsf{-2}&\mathsf{1}\\\mathsf{-4}&\mathsf{2}\end{array}\right \\\\\\ \mathsf{\Delta_x}=\mathsf{0+8+4-4+0-10}\\ \mathsf{\Delta_x=-2}$

Faça o mesmo para achar o determinante de y e z:

$\mathsf{\Delta_y}= \left|\begin{array}{ccc}\mathsf{1}&\mathsf{0}&\mathsf{-1}\\\mathsf{2}&\mathsf{-2}&\mathsf{-2}\\\mathsf{7}&\mathsf{-4}&\mathsf{-5}\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}\mathsf{1}&\mathsf{0}\\\mathsf{2}&\mathsf{-2}\\\mathsf{7}&\mathsf{-4}\end{array}\right\\\\\\ \mathsf{\Delta_y} =\mathsf{10+0+8-14-8+0}\\ \mathsf{\Delta_y=-4}$


$\mathsf{\Delta_z=} \left|\begin{array}{ccc}\mathsf{1}&\mathsf{1}&\mathsf{0}\\\mathsf{2}&\mathsf{1}&\mathsf{-2}\\\mathsf{7}&\mathsf{2}&\mathsf{-4}\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}\mathsf{1}&\mathsf{1}\\\mathsf{2}&\mathsf{1}\\\mathsf{7}&\mathsf{2}\end{array}\right \\\\\\ \mathsf{\Delta_z=-4-14+0+0+4+8}\\ \mathsf{\Delta_z=-6}$


Agora divida cada determinante, pelo principal:

$\mathsf{x= \dfrac{\Delta_x}{\Delta}\Rightarrow x= \dfrac{-2}{-2} =1}\\\\\\ \mathsf{y= \dfrac{\Delta_y}{\Delta}\Rightarrow y= \dfrac{-4}{-2} =2}\\\\\\\mathsf{z= \dfrac{\Delta_z}{\Delta} \Rightarrow z= \dfrac{-6}{-2}=3 }$


Basta então escrever a solução do sistema:

$\Large\boxed{\mathsf{S=\{(1,2,3)\}}}$

Tenha ótimos estudos ;D