Matemática, perguntado por meduda857, 6 meses atrás

aplicando método de derivação implícita encontre Y da curva definida por x3 + xy - y2 =0​

Soluções para a tarefa

Respondido por Lionelson
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Temos que a derivada implícita da curva é dada por:

                                     \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2+y}{x - 2y}\end{gathered}$}

Para aplicar o método da derivação implícita, temos que a variável y é um função de x, pois y = f(x), logo temos que aplicar a regra da cadeia toda vez que formos derivar a parte do y, ou seja:

                                  \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}y = f(x) \\ \\\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}f(x) = f'(x)\end{gathered}$}

Então se tivermos y composta com outra função g(x), temos:

                                   \Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}g(y) &\Rightarrow g(f(x)) \\ \\g'(y) &= f'(x)g'(f(x))\end{aligned}$}

Portanto, para a expressão:

                                     \Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}x^3 + xy - y^2 = 0\end{aligned}$}

Teremos (derive tudo em relação a x):

                            \Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}3x^2 + \frac{dy}{dx}x + y - \frac{dy}{dx}2y = 0\end{aligned}$}

Note que isso vem da regra da cadeia pois:

\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}y &= f(x)\\ \\y^2 &= g(f(x)) \Rightarrow g(x) = x^2\quad \text{ aplicando a derivada}\\ \\ &= f'(x)g'(f(x))\\ \\ &= \frac{dy}{dx}2y\end{aligned}$}

Portanto, agora basta isolar dy/dx na expressão:

                           \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}3x^2 + \frac{dy}{dx}x + y - \frac{dy}{dx}2y = 0\\ \\ \frac{dy}{dx}x  - \frac{dy}{dx}2y = -3x^2 + y\\ \\ \frac{dy}{dx}[x - 2y] = -3x^2 + y\\ \\ \frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2+y}{x - 2y}\end{gathered}$}

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários.

Gráfico da curva em anexo

Veja mais sobre em:

brainly.com.br/tarefa/23768212

brainly.com.br/tarefa/10402219

Anexos:

Lionelson: Tinha esquecido de mudar um sinal, por favor releia a questão para a resolução certa
meduda857: muito obrigada
Lionelson: Disponha!
bernardojose701: Henrique poderia me ajudar em uma questão de física, Claro se for possível
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