Aplicando as regras dos produtos notaveis, desenvolva:
a) (x+9)² b) (3-a²)² c) (x+11) (x-11) d) (4x-1)² e) (2m-5) (2m+5) f) (1/2+x³)² g) (2a²-1/3a³)
Soluções para a tarefa
b)(3-a²)²=9-6a²+a²
c)(x+11)(x-11)=x²-121
d)(4x-1)²=16x²-8x+1
e)(2m-5)(2m+5)=4m²-25
f)(1/2+x³)²=1/4+x³+x⁶
g)(2a²-1/3a³)²=4a⁴-4a²/3a³+1/3a⁶
Aplicando as regras dos produtos notáveis, temos as seguintes equações desenvolvidas:
a) (x+9)² = x² + 18x + 81
b) (3-a²)² = 9 - 6a² + a⁴
c) (x + 11) (x-11) = x²- 121
d) (4x - 1)² = 16x² - 8x + 1
e) (2m-5) (2m+5) = 4m² - 25
f) (1/2+x³)² = 1/4 + x³ + x⁶
g) (2a²-1/3a³)² = 4a⁴ - 4/3a⁵ + 1/9a⁶
Produtos Notáveis
Produtos notáveis são multiplicações de polinômios e são três dos mais relevantes:
- Quadrado da soma
O quadrado da soma acontece quando temos um polinômio no seguinte padrão (x + a)², sendo a uma constante qualquer. Dessa forma, para desenvolvê-lo, devemos fazer a seguinte conta:
- (x + a)² = x² + 2ax + a²
Ou seja, o quadrado do primeiro termo, duas vezes o primeiro vezes o segundo termo e a constante ao quadrado.
As letras que apresentam um produto notável no formato quadrado da soma são:
- a) (x + 9)² = x² + 2.9.x + 9² = x² + 18x + 81
- f) (1/2 + x³)² = (1/2)² + 2. (1/2) . x³ + (x³)² = 1/4 + x³ + x
- Quadrado da diferença
O quadrado da diferença é similar ao quadrado da soma, contudo, ao invés do polinômio realizar uma soma, ele realiza a subtração. Ou seja, o polinômio tem o formato (x - a)², sendo a uma constante qualquer.
Como apenas o sinal do polinômio alterou, para desenvolvê-lo também mudamos apenas o sinal no termo do meio. Isso é, ao invés de ser 2.x.a, faremos -2.x.a.
No exercício, as letras que apresentam um quadrado da diferença é:
- b) (3 - a²)² = 3² - 2.3.a² + (a²)² = 9 - 6a² + a⁴
- d) (4x - 1)² = (4x)² - 2.1.4x + 1² = 16x² - 8x + 1
- g) (2a² - (1/3)a³)² = (2a²)² - 2.2.(1/3)a³ + ((1/3)a³)² = 2a⁴ - (4/3)a³ + (1/9)a⁶
- Produto da soma pela diferença
O produto da soma pela diferença é quado temos um polinômio no formato (x + a)(x - a), dessa forma para desenvolvê-los basta elevar os dois termos ao quadrado. Isso ocorre, pois ao fazermos a distributiva, veremos que + a e -a acabam se cancelando no final, ficando somente os dois termos ao quadrado.
Desenvolvendo o produto (x + a)(x - a), aplicando distributiva:
(x + a)(x - a) = x² - ax + ax - a²
Como -ax e + ax resulta em 0, o resultado final é x² - a²
As letras que apresentam o produto da soma pela diferença são:
- c) (x+11) (x-11) = x² - 11² = x² - 121
- e) (2m-5) (2m+5) = (2m)² - 5² = 4m² - 25
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