Matemática, perguntado por janyrhenrique, 3 meses atrás

Aplicando a integração por substituição para a integral abaixo:

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Nitoryu

Resposta: Resolvendo esta integral pelo método de substituição devemos obter a seguinte resposta $\boxed{I=\dfrac{2}{3}\ln{\left|2+3x^2\right| }+C,~~com~C\in\mathbb{R}}$

Solução:

Queremos usar o método de integração por substituição para resolver a seguinte integral:

$\displaystyle I~=~\int\dfrac{4x}{2+3x^2}\,dx$

Observe que essa integral é mega complexa, pois nem aparece em uma tabela de integração ou parece uma integral na tabela de integração, portanto, o método de substituição nos ajudará a resolver essa integral de maneira mais simples para que nossa integral se assemelhe a uma integral presente em uma tabela de integração.

Para resolver uma integral por substituição devemos substituir uma operação muito complexa ou que aparece várias vezes em nossa integral por uma variável aleatória que decidi chamar de λ (lambda). A expressão mais complexa que está presente na nossa integral é 2+3x², isso pode ser visto no denominador da nossa fração.

Portanto se queremos substituir 2+3x² por λ devemos fazer uma mudança na variável que estamos integrando, portanto vamos derivar λ em relação a x para obter

$\dfrac{d\lambda }{dx}~=~\dfrac{d}{dx}~2+3x^2\qquad\to\qquad\dfrac{d\lambda}{dx}~=~\dfrac{d}{dx}~2+\dfrac{d}{dx}~3x^2\\\\\\ \dfrac{d\lambda}{dx}~=~2\cdot 3x^{2-1}\qquad\to\qquad \dfrac{d\lambda}{dx}~=~6x\\\\\\ d\lambda~=~6x\,dx\qquad\to\qquad \boxed{\dfrac{d\lambda}{6x}~=~dx}$

Fazendo esta substituição vamos obter uma integral muito mais simples de resolver e é até possível que esta integral seja fundamental.

$\displaystyle I~=~\int\dfrac{4x}{\lambda}\cdot\dfrac{1}{6x}\,d\lambda\\\\\\ \displaystyle I~=~\int\dfrac{2}{3\lambda}\,d\lambda\\\\\\ \displaystyle I~=~\dfrac{2}{3}\int\dfrac{1}{\lambda}\,d\lambda\\\\\\I~=~\dfrac{2}{3}\ln{\left|\lambda \right|} +C~\iff ~\boxed{I~=~\dfrac{2}{3}\ln{\left|2+3x^2\right|}+C}$