Question

Aplicação de integral:
Calcule a área da região limitada pelas curvas:
y=x
$y= x^{2}$

Answer 1

Temos as seguintes funções:

$y = x \\ \\ y = x^2$

Primeiro encontraremos os pontos de intersecção das funções:

$x^2 = x \\ x^2 - x = 0 \\ x (x - 1) = 0 \\ \\ x' = 0 \\ x'' = 1$

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos:

$A = \int\limits^1_0 {x} \, dx - \int\limits^1_0 {x^2} \, dx$

Logo:

$\int {x} \, dx = \dfrac{x^2}{2} + C \\ \\ \\ \int {x^2} \, dx = \dfrac{x^3}{3} + C$

Logo a área será:

$A = \left ( \dfrac{x^2}{2} \right )\limits^1_0 - \left ( \dfrac{x^3}{3} \right )\limits^1_0 \\ \\ \\ A = \left (\dfrac{1^2 - 0 ^2 }{2} \right) - \left (\dfrac{1^3 - 0^3 }{3} \right) \\ \\ \\ A = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{3-2}{6} = \dfrac{1}{6}$

Answer 2

Temos que encontrar o ponto de intersecção :

x²=x

x²-x=0

x(x-1)=0

x=0

x-1=0

x=1

y=0

y=1

( 0,0)(1,1)

Basta fazer a função superior menos a inferior.

∫(x-x²) dx = ½x²-⅓x³ | (0,1)

A= ½. 1²-⅓. 1³-(½. 0²-⅓. 0³)

A= ½-⅓

A=(3-2)/6

A= 1/6 u.a