Question

Apesar de pertencer a uma bissetriz de quadrantes
do plano cartesiano, o ponto P possui as coordena-
das distintas. Além disso, equidista de (1,6) e (-3,8).
Determine suas coordenadas.​

Answer 1

Resposta: P (3,-3)

Se o ponto P pertence a uma bissetriz de quadrantes ele pertence a reta y = x ou y= -x, desta forma temos apenas duas opções para suas coordenadas, ou elas são iguais ou uma é o oposto da outra, sendo assim P (x,x) ou P (x,-x). Como o exercício diz que elas são diferentes ficamos com a segunda opção.

O ponto P (x,-x) equidista de A (1,6) e B (-3,8)então temos que:

$D_{PA} = D_{PB}$

$\sqrt{(x-x_{a} )^{2} +(y-y_{a} )^2} = \sqrt{(x-x_{b} )^{2} +(y-y_{b} )^2}$

$\sqrt{(x-1 )^{2} +(y-6 )^2} = \sqrt{(x-(-3) )^{2} +(y-8 )^2}$

Podemos eliminar a raiz elevando os dois lados ao quadrado, fazer a regra de sinal e ficamos apenas com:

$(x-1 )^{2} +(y-6 )^2 = (x+3 )^{2} +(y-8 )^2$

Desenvolvendo os produtos notáveis temos:

x² - 2x + 1 + x² + 12x + 36 = x² + 6x + 9 + x² + 16x + 64

x²  + x² - x²- + x² - 2x + 12x - 6x - 16x = 9 + 64 - 1 - 36

-12x = 36  multiplicando a equação por (-1) temos:

x = -3

E P (x,-x) = P (3,-3).