Question

Ao verificar se A = {(1,0,2), (-1,1,0), (1,1,1)} gera o espaço V.

Fazendo: a1 (1, 0, 2)+ a2(- 1, 1, 0) + a3 ( 1, 1, 1) = (x, y, z).

Obtemos:

Answer 1

As alternativas são:

a) $a_1 = \frac{-2x-y+2z}{3}$

b) $a_3=\frac{2x+y-z}{3}$

c) $a_2=y-2$

d) $a_2=\frac{-x+y+z}{3}$

e) $a_1=\frac{2z-x-y}{3}$

Resolução

Como a₁(1,0,2) + a₂(-1,1,0) + a₃(1,1,1) = (x,y,z), então podemos montar o seguinte sistema:

{x = a₁ - a₂ + a₃

{y = a₂ + a₃

{z = 2a₁ + a₃

Da segunda equação obtemos y - a₂ = a₃.

Substituindo na primeira equação: x = a₁ - a₂ + y - a₂ ∴ x - y = a₁ - 2a₂ (*)

Da terceira equação obtemos a₃ = z - 2a₁.

Substituindo na primeira equação: x = a₁ - a₂ + z - 2a₁ ∴ x - z = -a₁ - a₂ (**)

Somando (*) com (**):

2x - y - z = -3a₂

$a_2 = \frac{-2x+y+z}{3}$

Substituindo o valor de a₂ na segunda equação:

$y = \frac{-2x+y+z}{3}+a_3$

$a_3=\frac{2x+2y-z}{3}$

Substituindo a₂ e a₃ na primeira equação:

$x = a_1-(\frac{-2x+y+z}{3})+\frac{2x+2y-z}{3}$

$x = a_1 + \frac{4x+y-2z}{3}$

$a_1 = \frac{-x-y+2z}{3}$

Portanto, a alternativa correta é a letra e).