Question

Ao utilizar o caixa eletrônico de um banco, o usuário digita sua senha numérica em uma tela como mostra a figura. Os dez algarismos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) são associados aleatoriamente a cinco botões, de modo que a cada botão correspondam dois algarismos, indicados em ordem crescente. O número de maneiras diferentes de apresentar os dez algarismos na tela é

Answer 1

cada botão corresponde a 2 algarismos como são 5 botões então é:
2x2x2x2x2= 2⁵

10×9×8×7×6×5×4×3×2 ÷ 2×2×2×2×2 = 5×9×4×7×3×5×2×3×1= 113400

Answer 2

O exercício se trata de uma combinação simples, ou seja, a formula corresponde a : C(n,p)= n! / p! (n-p)!

Logo, sendo 5 botões e cada qual possui 2 algarismos utilizamos a combinação :

1° botão : 10 algarismos escolhemos 2 ( 10 escolhe 2 ) : 10!/2!(10-2)! = 10!/2!8!

2° botão : 8 algarismos possíveis pois 2 usamos no primeiro botão ( 8 escolhe 2)  -->  8!/2!(8-2)! = 8!2!6!

.... no final, repetindo o procedimento aos 5 botões, temos:

$\frac{10!8!6!4!2!}{2!8!2!6!2!4!2!2!2!1!}$

cortando em cima e embaixo os fatoriais temos :

$\frac{10!}{2!2!2!2!2!}$

( como 2!=2) logo, $\frac{10!}{2^5}$

RESPOSTA: $\frac{10!}{2^5}$