Question

ao termino de uma reuniao todos se deram um aperto de mao luiz que estava presente na reuniao disse que ouve 66 apertos de mao quantas pessoas participaram dessa reuniao

Answer 1

a pessoa 1 cumprimenta todas as outras pessoas: ocorrem (n − 1) apertos de mão. 
a pessoa 2 cumprimenta todas as outras pessoas (incluindo a pessoa 1): ocorrem (n − 1) apertos de mão. 
a pessoa 3 cumprimenta todas as outras pessoas (incluindo a duas primeiras): ocorrem (n − 1) apertos de mão. 
… 
a pessoa n cumprimenta todas as outras pessoas (incluindo todas as anteriores): ocorrem (n − 1) apertos de mão. 

somando tudo ocorreram n × (n − 1) apertos de mão. 
só que contamos em duplicidade porque se a pessoa 1 cumprimenta a pessoa 2, a pessoa 2 não vai cumprimentar novamente a pessoa 1. 

se contamos em duplicidade então vamos dividir por 2. 

quantidade total de apertos de mão: 
  n × (n − 1) 
N = ————— 
    2 

b) Se N = 66 

   n × (n − 1) 
66 = —————— 
     2 

    
132 = (n² − n) 
n² − n − 132 = 0   resolvendo por soma e produto de raízes: 
n² − Sn + P = 0 
S = 1 
P = −132 

n = −11 ou n = 12 

12 pessoas estavam presentes na reunão.