Question

Ao simplificarmos a expressão fatorial$\frac{ (n!)^{2} -(n-1)!.n! }{(n-1)!.n!}$, obtemos como resultado:
resposta: n-1
queria saber como eu chego nessa resposta bgdd

Answer 1

$\dfrac{\left(n! \right )^{2}-\left(n-1 \right )!\cdot n!}{\left(n-1 \right )!\cdot n!}$


Colocando o fator $n!$ em evidência no numerador, temos

$=\dfrac{\diagup\!\!\!\!\! n!\cdot \left[\,n!-\left(n-1 \right )! \right \,]}{\left(n-1 \right )!\cdot \diagup\!\!\!\!\! n!}\\ \\ =\dfrac{n!-\left(n-1 \right )!}{\left(n-1 \right )!}\\ \\ =\dfrac{n\cdot \left(n-1 \right )!-\left(n-1 \right )!}{\left(n-1 \right )!}\\ \\ =\dfrac{n\cdot \left(n-1 \right )!-1\cdot \left(n-1 \right )!}{\left(n-1 \right )!}$


Colocando o fator $\left(n-1 \right)!$ em evidência no numerador, temos

$=\dfrac{\left(n-1 \right )!\cdot \left(n-1 \right )}{\left(n-1 \right )!}$


Simplificando o fator $\left(n-1 \right)!$ no numerador e no denominador, finalmente chegamos a

$=\dfrac{\left(n-1 \right )!\cdot \left(n-1 \right )}{\left(n-1 \right )!}\\ \\ =n-1\\ \\ \\ \boxed{\dfrac{\left(n! \right )^{2}-\left(n-1 \right )!\cdot n!}{\left(n-1 \right )!\cdot n!}=n-1}$