Question

Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diâmetro varia à razão de 0, 01cm/min. Determine a taxa à qual a área de uma das faces varia quando o diâmetro é 30cm.

Answer 1

Utilizando derivada implicita, temos que a área esta variando a 0,15π cm²/min.

Explicação passo-a-passo:

Temos que a área de uma chapa circular é dada pela formula:

$A=\pi R^2$

Mas como queremos escrever ela em função do diametro, então basta substituir R por D/2:

$A=\pi (\frac{D}{2})^2$

$A=\frac{\pi}{4}D^2$

Agora queremos saber o quanto esta área varia, então vamos fazer a derivada implicita desta equação:

$A=\frac{\pi}{4}D^2$

$A'=\frac{\pi}{4}2D.D'$

$A'=\frac{\pi}{2}D.D'$

Agora que temos a derivada implicita, basta substituirmosos valores dados, pois se diametro varia 0,01, então este é o valor de D', e D é 30:

$A'=\frac{\pi}{2}D.D'$

$A'=\frac{\pi}{2}30.0,01$

$A'=\frac{\pi}{2}0,3$

$A'=0,15\pi$

Então a área esta variando a 0,15π cm²/min.