Question

Ao se girar um triangulo retângulo de lados 3m, 4m e 5m em torno da hipotenusa, obtém-se um sólido cujo volume, em m³, é igual a:

Answer 1

Conforme o enunciado...
Triângulo Retângulo
c= cateto= 3m
b= cateto= 4m
a= hipotenusa= 5m
Ao girar... obtém-se um sólido que resulta em dois cones
a= 5m (hipotenusa)
b= 4m (cateto)
c = 3m (cateto)
m= ? projeção dos catetos sobre a hipotenusa
n= ? projeção dos catetos sobre a hipotenusa
h= ? altura

Para descobrir o volume do sólido (cone₁ + cone₂) , primeiro temos que descobrir os valores de m, n e h.

Relações métricas do Triângulo Retângulo temos:
→ Resolução
b² = an
(4)² = 5.n
16= 5n
5n = 16
n = 16/5

c² = am
(3)² = 5.m
9= 5m
5m= 9
m = 9/5

a.h =b.c
5.(h) =(4).(3)
5h = 12
h = 12/5 ( altura do triângulo retângulo 3,4,5)

Lembrando:
Para calcularmos o volume do cone multiplicamos a área da base pela medida da altura e dividimos o resultado por três.
V= Ab*h/3 ; onde Ab = π*r²
Então:
V= Ab*h/3 → V= π*r²*h/3

Análise
A alturas dos cones são as projeções (m e n) dos catetos sobre a hipotenusa e a área da base (raio) é a altura do Triângulo Retângulo 3, 4 , 5 em relação a hipotenusa.

Volume do cone 1
V= π*r²*h/3
V₁ =( π*(12/5)²)*(9/5))/3
V₁ = (144π/25)*(9/5)/3
V₁ = 432π/125

Volume do cone 2
V= π*r²*h/3
V₂ = (π*(12/5)²)*(16/5))/3
V₂ = (144π/25)*(16/5)/3
V₂ = 768π/125
Somando o volume dos dois cones:
V₁+V₂ = 432π/125 + 768π/125
V₁+V₂ = 1200π/125
V₁+V₂ = 48π/5 m³

→ Resposta: O Volume do sólido é igual a 48π/5 m³

Bons estudos.

Answer 2

Obtém-se um sólido cujo volume, em m³, é igual a $\frac{48\pi}{5}$.

Ao girar um triângulo retângulo em torno da hipotenusa, obtemos a figura abaixo.

Observe que o sólido formado é composto de dois cones.

A área do triângulo retângulo de catetos 3 e 4 metros é: 3.4/2 = 6 m².

Então, a medida do segmento AE e DE é:

6 = 5.AE/2

5.AE = 12

AE = 12/5 m = DE.

Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABE, obtemos a medida do segmento BE:

4² = (12/5)² + BE²

16 = 144/25 + BE²

BE² = 256/25

BE = 16/5 m.

Como BC é a hipotenusa, então:

5 = BE + EC

5 = 16/5 + EC

EC = 9/5 m.

O volume de um cone é igual a um terço do produto da área da base pela altura.

O volume do cone maior é:

$V'=\frac{1}{3}\pi (\frac{12}{5})^2 . \frac{16}{5}$

$V'=\frac{2304}{375}\pi$ m³.

Já o volume do cone menor é:

$V''=\frac{1}{3}\pi(\frac{12}{5})^2.\frac{9}{5}$

$V''=\frac{1296}{375}\pi$ m³.

Portanto, o volume do sólido gerado é:

$V=\frac{2304}{375}\pi + \frac{1296}{375}\pi$

$V=\frac{3600}{375}\pi$

$V=\frac{48}{5}\pi$ m³.

Para mais informações sobre volume, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/3913457