Question

Ao se analisar campos vetoriais, algumas características são de grande interesse para sua classificação como sendo
conservativos ou não conservativos.
Considere o campo vetorial abaixo:
F(x,y) = (2,2y)
Considere também dois caminhos através dos quais se calcule a integral de linha
desse campo
rd) = (t, 2t).0 <<<1
c(t) = (2,2-),0 <t<1
Julgue as afirmações abaixo usando as afirmações acima
1 - A integral de linha sobre r(c) é igual a 6
II - A integral de linha sobre c(c) é igual a 6
III - O campo vetorial descrito é conservativo
IV-Sobre uma curva fechada este campo vetorial tem integral de linha diferente de Zero
Alternativa
apenas 1,2,3
apenas 1,2,4
apenas 2,3
apenas 2,4
apenas 1,3
​

Answer 1

Resposta:

Alternativa 1:

Apenas I, II e III.

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

Para o campo vetorial dado F(x,y)=(2,2y) temos que o valor do caminho r(t) é igual a 6, mas para o caminho c(t), não é 6, portanto não é conservadora e se for diferente de zero apenas as afirmativas I e IV estão corretas:

Definição do campo vetorial

Seja $\displaystyle \vec{F}$ um campo vetorial contínuo definido em uma curva suave C dada por uma função vetorial $\displaystyle \vec{r}( t)$, a ≤ t ≤ b. Então a integral de linha de  $\displaystyle \vec{F}$ ao longo de C é:

                                $\displaystyle \int _{C}\vec{F} *d\vec{r} =\int _{a}^{b}\vec{F}(\vec{r}( t)) *\overrightarrow{r\ '}( t) *dt$

Observe que $\displaystyle \vec{F}(\vec{r}( t)) =\vec{F}( x( t) ,y( t) ,z( t))$.

Além disso, campos vetoriais conservativos são aqueles em que a integração sobre dois caminhos diferentes que começam e terminam nos mesmos dois pontos dá o mesmo resultado.

Agora devemos verificar as duas trajetórias dadas:

• 1. F(x,y) = (2,2y) e seu caminho r(t)=(t,2t), 0 ≤ t ≤ 1:

$\vec{F}(\vec{r}(t))=(2,2(2t))=(2,4t)$

$\vec{r} \ '(t)= (1,2)$

$\displaystyle \int _{r}\vec{F} *d\vec{r} =\int _{0}^{1} F( t,2t) *( 1,2) dt=\int _{0}^{1}( 2,4t) *( 1,2) dt=$$\int _{0}^{1}( 2+8t) dt=\left( 2t+4t^{2}\right)| _{0}^{1} =( 2+4) -( 0) =6$

Portanto, a afirmação I está correta.

• 2. F(x,y) = (2,2y) e seu caminho $\displaystyle \vec{c}( t) =\left( t^{3} ,2t^{2}\right) ,\ \ \ \ 0\leq t\leq 1$

$\vec{F}(\vec{c}(t))=((2)^3,2((2t)^2))=(8,8t^2)$

$r'(t)=(3t^2,4t)$

$\displaystyle \int _{C}\vec{F} *d\vec{c} =\int _{0}^{1} F\left( t^{3} ,2t^{2}\right) *\left( 3t^{2} ,4t\right) dt=\int _{0}^{1}\left( 8,8t^{2}\right) *\left( 3t^{2} ,4t\right) dt=$$\int _{0}^{1}\left( 24t^{2} +32t^{3}\right) dt=\left( 12t^{3} +\frac{32}{3} t^{4}\right)| _{0}^{1} =12+\frac{32}{3} =22,6$

Vemos que a afirmação II está incorreta.

• 3. Dois caminhos diferentes foram seguidos para o mesmo campo vetorial nos casos I e II e o resultado é diferente, portanto não é um campo conservativo, ou seja, a afirmação III está incorreta.

• 4. Os resultados em I e II foram diferentes de zero, portanto a afirmativa IV é afirmativa.

Se você quiser ler mais do que um campo vetorial com matrizes pode ver este link: https://brainly.com.br/tarefa/24066733

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