Question

Ao relatar uma ocorrência a um policial, a testemunha afirmou ter memorizado parcialmente a placa de um automóvel, a qual ela descreveu da seguinte maneira:
• Possui as letras XYZ, nessa ordem.
• Não há algarismos repetidos.
• O primeiro algarismo é 5.
• Tem o algarismo é 6.
• O número formado pelos quatro algarismos, na ordem em que se apresentam na placa, é um múltiplo de três.

Com base apenas nessas informações, a quantidade de placas possíveis, com três letras e quatro algarismos, é:
a)600
b)148
c)100
d)84
e)30

Answer 1

A placa tem duas contagens possíveis:

XYZ5__6

ou

XYZ5_6_ e XYZ56__

Como dito no enunciado, o número é um múltiplo de 3, ou seja, o 6 estar em último (já que ele já está incluído, só não se sabe o lugar) é uma contagem diferente dele não estar em último, então fazemos assim:

1.8.7.1 (O 5 é fixo em primeiro lugar, sua contagem é 1, o 6 é fixo em último lugar, sua contagem também é 1, e como não há números iguais, restaram 8 números para o segundo algarismo e 7 números para o terceiro algarismo)

Isto dá 56 placas, porém devemos somar com as placas que possuem 6 no meio:

1.2!.7.2 (O 5 continua fixo em primeiro lugar, sua contagem é 1. O 6 pode tanto estar no segundo ou terceiro algarismo, ele é fixo, mas como ele pode aparecer tanto em um como no outro, sua contagem é 2!(permutação dele entre as duas casas, no terceiro número temos 7 opções. Para o quarto número, temos somente duas opções: 3 ou 9. Simplesmente porque  o número é um múltiplo de 3 e, neste caso, o 6 está fora já que ele foi fixado nos outros algarismos)

1.8.7.1 + 1.(2!).7.2 = 56 + 28 = 84 contagens possíveis.

letra d) (eu acho)