Question

Ao realizar a fatoração do número 2^40 -1,o divisor primo desse número será:
a)2
b)31
c)33
obs:Preciso da resolução,como chegou ao resultado, obrigada.​

Answer 1

Na fatoração do número 2⁴⁰ -1, o divisor menor primo será: 31.

A fatoração de expressões do tipo: a² - b² é dada por:

a² - b² = (a - b).(a+b)

Neste caso, seja a = 2²⁰ e b = 1, então:

2⁴⁰ - 1 =

(2²⁰)² - (1)² = (2²⁰ - 1). (2²⁰ + 1)

Saiba que o 1 é infinitamente fatorável por ele mesmo. Logo, fatorando novamente a expressão "2²⁰-1" pelo processo análogo ao anterior, obtemos:

(2²⁰ - 1) = (2¹⁰ - 1). (2¹⁰ + 1)

De novo,

(2¹⁰-1) = (2⁵ - 1) . (2⁵ + 1)

Juntando todas as expressões (tome cuidado para não deixar nenhuma de fora), chegamos em:

2⁴⁰ - 1 = (2²⁰ + 1) . (2¹⁰ + 1). (2⁵ + 1) . (2⁵ - 1)

Desta maneira, se desenvolvermos o fator em negrito, obteremos o primo:

(2⁵ - 1) = 32 - 1 = 31

Resposta: B)

Answer 2

${2}^{40} - 1 = {2}^{ ({20})^{2} } - 1 = ({2}^{20} + 1)( {2}^{20} - 1) \\ ({2}^{20} + 1)( {2}^{10} + 1)( {2}^{10} - 1) \\ ({2}^{20} + 1)( {2}^{10} + 1)( {2}^{5} + 1)( {2}^{5} - 1) \\ ( {2}^{20} + 1)( {2}^{10} + 1)(32 + 1)(32 - 1) \\ ( {2}^{20} + 1)( {2}^{10} + 1).33.31$

Logo o divisor primo é o 31.

Obs: um número é primo quando possuí apenas dois divisores naturais.