Question

ao medir o seu terreno irregular, um agricultor percebeu que seu terreno formava um arco de uma parábola, y = 8 - x². Qual é a área encontrada pelo fazendeiro de 0 a 4?

Answer 1

É claro que x = 4 está além da raiz positiva da função, daí o cálculo da integral de 0 a 4 resultaria em uma área equivocada para o intervalo I = [0,4].

As raízes serão as seguintes, mas só usaremos a raiz positiva.

$\displaystyle f(x) = 8-x^2 \\ \\ 8-x^2=0 \\ \\ x=\sqrt{8} \, \, \hookrightarrow \, \, \pm \, 2\sqrt{2}$

Considere a seguinte integral para a área em I = [0,4] (desconsidere o sinal de áreas negativas)

$\displaystyle \int_{0}^{2\sqrt{2}} 8 -x^2 \, \, dx + \int_{2\sqrt{2}}^{4} 8-x^2 \, \, dx \\ \\ \\ 8x-\frac{1}{3}x^3 \bigg|_{0}^{2\sqrt{2}} + 8x-\frac{1}{3}x^3 \bigg|_{2\sqrt{2}}^{4} \\ \\ \\ \frac{32\sqrt{2}}{3} + \frac{32-32\sqrt{2}}{3} \, \, \hookrightarrow \, \, 15.08 + (-4.42) \\ \\ \\ \frac{32\sqrt{2}}{3} + \frac{-(32-32\sqrt{2})}{3} \, \, \hookrightarrow \, \, 15.08+4.42 \\ \\ \\ \frac{32 \sqrt{2}-32+32\sqrt{2}}{3} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{ A = \frac{64\sqrt{2}-32}{3} \, u.a}}$