Question

Ao longo da história podemos observar o avanço da Matemática, a necessidade de contar e relacionar quantidades fez com que o homem desenvolvesse símbolos no intuito de expressar inúmeras situações. Com o início do Renascimento surgiu a expansão comercial, que aumentou a circulação de dinheiro, obrigando os comerciantes a expressarem situações envolvendo lucros e prejuízos. Surgia um novo conjunto numérico representado pela letra Z (significa: Zahlen: número em alemão), sendo formado pelos números positivos (Naturais) e seus respectivos opostos. Logo o conjunto Z é fechado sob as operações usuais de soma e multiplicação, uma vez que as entradas resultantes da soma e da multiplicação são números inteiros.

Com relação à estrutura algébrica desse conjunto com as operações usuais descritas, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas.

I O conjunto Z, munido das operações usuais, de adição e de multiplicação forma um corpo.

II Z não é um corpo porque nem todo elemento do conjunto Z, munido da operação usual de soma e de multiplicação, possui um inverso multiplicativo.

III Todo corpo é um anel de integridade, mas nem todo anel de integridade é um corpo, como exemplo o conjunto dos números inteiros.

A respeito dessas assertivas, assinale a alternativa correta:


As asserções I, II são verdadeiras, e a III é uma proposição falsa.


As asserções I e II são proposições falsas, e a III é verdadeira.


A asserção I é falsa, e as proposições II e III são verdadeiras.


As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.


As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.

Answer 1

Olá!

I O conjunto Z, munido das operações usuais, de adição e de multiplicação forma um corpo.
Falso, pois todo elemento diferente de zero em um corpo possui um elemento inverso com relação à multiplicação. Isto é, seja o produto 3·1, cujo resultado é 3. O inverso multiplicativo seria 1/3, dado que (1/3)·3=1. No entanto, o elemento 1/3 não está definido no conjunto dos inteiros Z.


II Z não é um corpo porque nem todo elemento do conjunto Z, munido da operação usual de soma e de multiplicação, possui um inverso multiplicativo.
Verdadeiro, como discuti acima.


III Todo corpo é um anel de integridade, mas nem todo anel de integridade é um corpo, como exemplo o conjunto dos números inteiros.
Verdadeiro, todo corpo é um anel de integridade. Isto porque todo corpo possui as propriedades que definem um anel de integridade. São elas:

- Comutatividade (x·y=y·x)
- Existência de elemento neutro (1·x=x·1=x)
- Não existem divisores de zero (isto é, o produto entre dois elementos do anel é igual a zero se, e somente se, ao menos um desses elementos for igual a zero)

Answer 2

Resposta:

Explicação passo a passo: