Question

Ao fazer uma joia, um ourives tomou uma face com a forma de um triângulo ABC conforme a figura a seguir e começou a lapidá-la a partir dos pontos médios dos seus lados D, E e F. Após a lapidação, o que sobrará é o triângulo DEF. Sabendo que todas as medidas estão em mm, a área final dessa face é:




(A)
2,25 mm².

(B)
2,5 mm².

(C)
2,75 mm².

(D)
5,5 mm².

(E)
11 mm².

Answer 1

A área final dessa face é 2,75 mm².

De acordo com a figura do exercício temos que A = (1,1), B = (7,2) e C = (3,5).

Como D, E e F são pontos médios dos lados AC, BC e AB, respectivamente, então podemos afirmar que:

2D = (1,1) + (3,5)

2D = (1 + 3, 1 + 5)

2D = (4,6)

D = (2,3)

2E = (7,2) + (3,5)

2E = (7 + 3, 2 + 5)

2E = (10,7)

E = (5,7/2)

2F = (1,1) + (7,2)

2F = (1 + 7, 1 + 2)

2F = (8,3)

F = (4,3/2).

Agora, devemos calcular a área do triângulo DEF. Para isso, vamos determinar os vetores DE e DF:

DE = (5,7/2) - (2,3)

DE = (5 - 2, 7/2 - 3)

DE = (3,1/2)

e

DF = (4,3/2) - (2,3)

DF = (4 - 2, 3/2 - 3)

DF = (2,-3/2).

Devemos calcular o determinante da seguinte matriz quadrada: $\left[\begin{array}{ccc}3&\frac{1}{2}\\2&-\frac{3}{2}\end{array}\right]$. Assim:

det = 3.(-3/2) - 2.1/2

det = -9/2 - 2/2

det = -11/2.

Portanto, a área do triângulo DEF é igual a:

S = |det|/2

S = |-11/2|/2

S = 11/4

S = 2,75 mm².

Answer 2

• Qual a fórmula para a área de um retângulo?

$A=a~.~b$

onde, a e b são as medidas dos lados do retângulo.

• Qual a fórmula para a área de um triângulo?

$A=\dfrac{b~.~h}{2}$

onde, b é a medida da base e h, a medida da altura.

• Resolvedo o problema

Pela imagem anexa, podemos ver que a área do triângulo é igual à área do retângulo formado pelas linhas vermelhas menos a soma das áreas do 3 triângulos formados entre a linhas vermelhas e as linhas verdes. Logo,

$A=4~.~6-\left(\dfrac{4~.~2}{2}+\dfrac{4~.~3}{2}+\dfrac{6~.~1}{2} \right)\\\\A=24-\left(\dfrac{8}{2}+\dfrac{12}{2}+\dfrac{6}{2} \right)\\\\A=24-(4+6+3)\\\\A=24-13\\\\A=11$

Como o triângulo menor é formado pela ligação entre os pontos médios dos lados do triângulo maior, sua área é igual a 1/4 da área do triângulo maior pois todos os 4 triângulos menores tem a mesma área. Logo,

$A'=\dfrac{A}{4}\\\\A'=\dfrac{11}{4}\\\\\boxed{A'=2,75~mm^2}$

• Conclusão

Portanto, a alternativa correta é a letra C.

• Para saber mais

https://brainly.com.br/tarefa/1590971