Question

Ao fatorizar a soma de cubos:

a^3 + b^3 = ( a + b ) . ( a^2 - ab + b^2)

De onde vem o sinal de menos (subtração) ???

Answer 1

Olá, Jijhere. Essa sua pergunta pode ser interpretada de duas formas:
A princípio, se você realizar o produto de $( a + b ) \cdot ( a^2 - ab + b^2)$, facilmente encontra a necessidade da subtração ali. Pois,

$( a + b ) \cdot ( a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3$
Assim, ele "serve" pra cancelar os termos intermediários $a^2b$ e $ab^2$.

Mas imagino que uma resposta mais satisfatória seja entender a lógica por trás disso.
Primeiramente, a soma de cubos pode ser interpretada como um caso específico da soma de potências enésimas, que seria sua forma generalizada.
Esse tipo de produto notável diz que 
 $a^n + b^n = (a+ b) \cdot (a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \cdots + b^{n-1} )$
À primeira vista, parece uma fórmula tirada da cartola, mas, se analisada com atenção, ela tem sentido. Aqui em baixo, apenas rearranjei a fórmula para que você consiga visualizar:

$(a+ b) \cdot (a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \cdots + b^{n-1} ) \\\\ = a \cdot (a^{n-1} - a^{n-2}b + \cdots - ab^{n-2} + b^{n-1} ) \\ + b \cdot (a^{n-1} - a^{n-2}b + \cdots - ab^{n-2} + b^{n-1} ) \\ \\ = a \cdot (a^{n-1} - a^{n-2}b + \cdots - ab^{n-2} + b^{n-1} ) \\ + b \cdot (\hphantom{xxxxxx}a^{n-1} - a^{n-2}b + \cdots - ab^{n-2} + b^{n-1} )$

$= a^{n} - a^{n-1}b + a^{n-2}b^2 - \cdots - a^2b^{n-2} + ab^{n-1} \\ + \hphantom{xxxx}a^{n-1}b - a^{n-2}b^2 + \cdots + a^2b^{n-2}- ab^{n-1} + b^{n} \\\\ = a^n + b^n$

Dessa forma, o sinal de menos serve para dar essa simetria na hora de realizar o produto, fazendo com que os termos auxiliares possam ser cancelados.

Se ainda estiver com dúvidas, pode perguntar. E bons estudos :D