Question

Ao fatorarmos o número inteiro positivo n, obtemos a expressão n = 2x .5y , onde x e y são números inteiros positivos. Se n admite exatamente 12 divisores positivos e é menor do que o número 199, então, a soma x+y é igual aa) 5.b) 6.c) 7.d) 8.obs: x e y são expoentes

Answer 1

Enunciado:

Ao fatorarmos o número inteiro positivo $\displaystyle \mathtt{n}$, obtemos a expressão $\displaystyle \mathtt{n = 2^x \cdot 5^y}$, onde x e y são números inteiros positivos. Se $\displaystyle \mathtt{n}$ admite exatamente 12 divisores positivos e é menor do que o número 199, então, a soma

$\displaystyle \mathtt{x + y}$ é igual a:

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

Obs: x e y são expoentes

Resposta:

$\boxed{\mathtt{B}}$

Explicação passo-a-passo:

A quantidade de divisores positivos do número n é dado por:

$\displaystyle \mathtt{(x + 1) \cdot (y + 1)}$

Com efeito, temos que:

$\displaystyle \mathsf{(x + 1) \cdot (y + 1) = 12}$

Desse modo, temos as seguinte possibilidades:

$\displaystyle \\ \mathsf{\bullet \qquad (x + 1) \cdot (y + 1) = 12 \cdot 1} \\\\ \mathsf{\bullet \qquad (x + 1) \cdot (y + 1) = 6 \cdot 2} \\\\ \mathsf{\bullet \qquad (x + 1) \cdot (y + 1) = 4 \cdot 3} \\\\ \mathsf{\bullet \qquad (x + 1) \cdot (y + 1) = 3 \cdot 4} \\\\ \mathsf{\bullet \qquad (x + 1) \cdot (y + 1) = 2 \cdot 6} \\\\ \mathsf{\bullet \qquad (x + 1) \cdot (y + 1) = 1 \cdot 12}$

Todavia, de acordo com o enunciado, n é menor que 199; assim, o único par que satisfaz as condições dadas... qualquer outra valor de x e y não irá satisfazer...

$\displaystyle \\ \mathsf{\bullet \qquad (x + 1) \cdot (y + 1) = 12 \cdot 1 \Rightarrow \boxed{\mathsf{x = 11}} \ e \ \boxed{\mathsf{y = 0}}} \\\\ \mathsf{\bullet \qquad (x + 1) \cdot (y + 1) = 6 \cdot 2 \Rightarrow \boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{x = 5}}}} \ e \ \boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{y = 1}}}}} \\\\ \mathsf{\bullet \qquad (x + 1) \cdot (y + 1) = 4 \cdot 3 \Rightarrow \boxed{\mathsf{x = 3}} \ e \ \boxed{\mathsf{y = 2}}} \\\\ \mathsf{\bullet \qquad (x + 1) \cdot (y + 1) = 3 \cdot 4 \Rightarrow \boxed{\mathsf{x = 2}} \ e \ \boxed{\mathsf{y = 3}}} \\\\ \mathsf{\bullet \qquad (x + 1) \cdot (y + 1) = 2 \cdot 6 \Rightarrow \boxed{\mathsf{x = 1}} \ e \ \boxed{\mathsf{y = 5}}} \\\\ \mathsf{\bullet \qquad (x + 1) \cdot (y + 1) = 1 \cdot 12 \Rightarrow \boxed{\mathsf{x = 0}} \ e \ \boxed{\mathsf{y = 11}}}$

Isto é,

$\\ \displaystyle \\ \mathsf{n = 2^x \cdot 5^y} \\\\ \mathsf{n = 2^5 \cdot 5^1} \\\\ \mathsf{n = 32 \cdot 5} \\\\ \boxed{\mathsf{n = 160}}$

Logo, concluímos que:

$\\ \displaystyle \\ \mathsf{x + y = 5 + 1} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{x + y = 6}}}$

Answer 2

Resposta:

Se a fatoração só tem bases 2 e 5, esse número não pode ser um múltiplo de 3 e precisa terminar em 0 (para ser divisível por 2 e em seguida por 5), fatorando os números que satisfazem essas condições em ordem decrescente temos:

190 = 2 x 5 x 19

180 não pode porque é múltiplo de três

170 = 2 x 5 x 17

160 = 2^5 x 5^1 (apareceram apenas as bases indicadas)

Verificando o número de divisores de 160:

(1+5) x (1+1) =

6 x 2 =

12 (número de divisores de acordo com a questão)

Resposta letra B (5+1) = 6

Explicação passo-a-passo: