Question

Ao escalar uma trilha de montanha, um alpinista percorre 256 m na primeira hora, 128 na segunda hora, 64 na terceira hora e assim sucessivamente. Determine o tempo (em hora) necessário para completar um percurso de:
a) 480m
b) 600m

Answer 1

Olá, Camilla.

Trata-se de uma PG cujo primeiro termo é 256 e a razão é $\frac12.$
O total caminhado até o instante $t$ é dado pela soma desta PG até o instante $t$.
A fórmula da soma da PG até o instante $t$ é dada por:

$S_t=a_1\cdot \frac{q^t-1}{q-1},\begin{cases}a_t:\text{t-\'esimo termo}\\a_1:\text{primeiro termo}\\q:\text{raz\~ao}\end{cases}$

Substituindo os valores do primeiro termo e da razão, temos:

$S_t=256\cdot \frac{(\frac12)^t-1}{\frac12-1}=256\cdot \frac{(\frac12)^t-1}{-\frac12}=256\cdot \frac{1-(\frac12)^t}{\frac12}=512[1-(\frac12)^t]\Rightarrow\\\\ S_t=512-512\cdot(\frac12)^t\Rightarrow\,S_n=512-\frac{512}{2^t}$

Para resolver as letras "a" e "b", bastas substituirmos os valores em cada letra na variável correspondente à soma, $S_t$, e obter o valor de $t.$ Vamos lá.

$a)\,S_t=480\Rightarrow512-\frac{512}{2^t}=480\Rightarrow512-480=\frac{512}{2^t}\Rightarrow\\\\32=\frac{512}{2^t}\Rightarrow2^t=\frac{512}{32}\Rightarrow 2^t=16\Rightarrow\boxed{t=4\text{ horas}}$

$b)\,S_t=600\Rightarrow512-\frac{512}{2^t}=600\Rightarrow512-600=\frac{512}{2^t}\Rightarrow\\\\-88=\frac{512}{2^t}\Rightarrow2^t=\frac{512}{-88}\Rightarrow 2^t<0\Rightarrow\boxed{\text{n\~ao existe resposta}}$

De fato, se levarmos o tempo para o infinito, veremos que o máximo que a caminhada pode atingir são 512 m. 600 m, portanto, é impossível. Veja:

$\lim\limits_{t\to+\infty}S_t=\lim\limits_{t\to+\infty}512-\frac{512}{2^t}=512-\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{512}{2^t}=512-0=512$

Answer 2

Para percorrer 480 metros, o alpinista levará 4 horas; Não é possível percorrer 600 metros.

a) Observe que:

128/256 = 0,5

64/128 = 0,5

ou seja, a sequência (256,128,64) é uma Progressão Geométrica de razão 0,5.

A soma dos termos de uma Progressão Geométrica finita é calculada pela fórmula: $Sn=\frac{a1(1-q^n)}{1-q}$, sendo

a1 = primeiro termo

q = razão

n = quantidade de termo.

Temos que:

a1 = 256

q = 0,5

Sn = 480.

Então:

$480=\frac{256(1-0,5^n)}{1-0,5}$

$240=256-256.0,5^n$

$16=256.0,5^n$

Como 16 = 2⁴, 256 = 2⁸, 0,5 = 2⁻¹, então:

2⁴ = 2⁸.2⁻ⁿ

As bases são iguais. Logo, podemos trabalhar apenas com os expoentes:

4 = 8 - n

n = 8 - 4

n = 4.

Portanto, o percurso de 480 metros durará 4 horas.

b) Perceba que 480/0,5 = 960.

Isso quer dizer que não é possível percorrer os 600 metros.

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