Question

Ao elaborar uma questão para a prova bimestral, a professora Mariana dese
estão para a prova bimestral, a professora Mariana desenhou um losango ABCD em um sistema
de coordenadas cartesianas cujas medidas não estavam indicadas nos eixos.
У. В
Mariana interrompeu a tarefa para atender ao telefone e, quando voltou, só se lembrava das coordenadas de dois
vértices, A(3,1) e B(2,8), e do ponto de encontro das duas diagonais, E(5,2).
a) Com as três informações de que lembrava, Mariana conseguiu determinar as coordenadas dos outros dois vér-
tices. Quais são essas coordenadas?
b) Calcule a área do losango ABCD

Answer 1

o ponto C será(:7,1)

o ponto D será:(8,-4)

A primeira coisa importante a se reparar é que, se o ponto E fosse igual a (0,0) , teriamos, por causa da simetria do losango:

C=-A

D=-B

então o primeiro passo da solução é fazer uma translação de todos os pontos, escrevendo novos pontos, de forma que tenhamos E no (0,0)

definimos o queirei chamar de "coordenadas linha":

E'=E-E=(0,0) [é a origem de coordenadas linha]

A'=A-E=(-2,-1)

B'=B-E=(-3,6)

com as informaçoes dadas sobre a simetria do losango, descobrimos que

C'=-A'= E-A=(2,1)

D'=-B'= E-B=(3,-6)

mas estes são os pontos obtidos nas coordenadas linhas.

sao pontos do losango cinza da figura.

queremos o losango azul.

para recuperar as coordenadas originais, basta somar E em cada ponto das coordenadas linha.

E'+E=E-E+E=E

A'+E=A-E+E=A

B'+E=B-E+E=B

que são os 3 pontos dados.

agora, o ponto C será:

C=C'+E=2E-A=(7,1)

e o ponto D será:

D=D'+E=2E-B=(8,-4)

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recapitulando:

movemos o centro do losango para o centro dos eixos de coordenada.

em seguida, encontramos os pontos C e

encontramos os pontos C e D neste novo losango (de pontos cinza na figura)

por fim, movemos o losango de volta para a posição inicial.

Answer 2

O losango é uma figura simétrica em relação as suas diagonais, então a distância entre o vértice A e o ponto E é a mesma distância de E ao vértice C, da mesma forma que a distância entre B e E é igual a distância entre E e D.

Sabendo disso, temos:

a) Ax = 3, Ex = 5 (Ex - Ax = 2)

Cx = ?, Ex = 5 (Cx - Ex = 2)

Cx = 7

Ay = 1, Ey = 2 (Ey - Ay = 1)

Cy = ?, Ey = 2 (Cy - Ey = 1)

Cy = 3

Bx = 2, Ex = 5 (Ex - Bx = 3)

Dx = ?, Ex = 5 (Dx - Ex = 3)

Dx = 8

By = 8, Ey = 2 (Ey - By = -6)

Dy = ?, Ey = 2 (Dy - Ey = -6)

Dy = -4

C (7, 3) e D (8, -4).

b) O tamanho do segmento AE e EB são:

AE² = (5-3)² + (2-1)²

AE² = 5

AE = √5 u.m

EB² = (2-5)² + (8-2)²

EB² = 45

EB = 3√5 u.m

A área do losango é:

A = 4.√5.3√5/2

A = 6.5

A = 30 u.m²