Question

Ao dirigir o jato de água de uma mangueira obliquamente
para cima, Pedro observou que a trajetória percorrida pela
água é parabólica. O bico B da mangueira está a 1 m de
altura em relação ao solo plano e horizontal, e a água atinge
a altura máxima de 2 m, em relação ao solo, em um ponto V
sobre a reta vertical que dista 1,6 m de B.
a) a que altura, em relação ao solo, passa a diretriz dessa
parábola?
b) a que altura, em relação ao solo, está o foco dessa
parábola?
Gabarito: a) 2,64 m b) 1,36 m

Answer 1

Resposta:

a) a altura em relação ao solo da reta diretriz da parábola é de 2,64 m.

b) a altura do foco da parábola em relação ao solo é de 1,36 m.

Explicação passo a passo:

Para responder adequadamente a esta questão vamos utilizar as informações do enunciado para construir um gráfico que sirva como base para a aplicação dos conceitos envolvendo a cônica parábola.

Considerando o eixo Ox como o solo, o ponto B possui coordenadas (0,1), já o vértice da parábola possui coordenadas V=(1,6; 2). Assim obtemos a Figura 1.

Nesse caso podemos utilizar a equação reduzida da parábola:

$2p\cdot (y-y_v)=(x-x_v)^2$

Onde,

$p$ é a distância entre o foco e a diretriz e $x_v$ e $y_v$ são as coordenadas do vértice que também é ponto médio entre a diretriz e o foco.

Dessa forma utilizando a equação temos:

$2p\cdot (y-2)=(x-1,6)^2$

Substituindo as coordenadas do ponto B

$2p\cdot (1-2)=(0-1,6)^2\\\\-2p=\dfrac{256}{100}\\\\p=-1,28$

a) Para obter a altura em relação ao solo da equação da diretriz, basta, a partir do vértice, somar a metade de $p$, ou seja, 0,64. Como o vértice se encontra a 2 m de altura a diretriz passará a 2 + 0,64 = 2,64 m de altura.

b) Já para determinar a que altura se encontra o foco, basta subtrair 0,64 da altura do vértice, ou seja, 2 - 0,64 = 1,36 m de altura.